1から5までの空欄に当てはまるものを、選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

1から5までの空欄に当てはまるものを、選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積は、$BC = 2\sqrt{3}$, $AB = 6$, $\angle ABC = 30^\circ$のとき、$\frac{1}{2} \times BC \times AB \times \sin(\angle ABC)$で求められます。

$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 6 \times \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 6 \times \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$

答えはイです。

(2) $\cos^2(150^\circ) + \sin^2(150^\circ)$は、三角関数の基本公式$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$より、1となります。

答えはエです。

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{5}$で、$90^\circ < \theta < 180^\circ$であるとき、$\sin \theta$を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{1}{5}$です。

また、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$なので、$1 + (-\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + \frac{1}{25} = \frac{26}{25} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{25}{26}$

$\cos \theta = \pm \frac{5}{\sqrt{26}}$

$90^\circ < \theta < 180^\circ$なので、$\cos \theta < 0$、$\cos \theta = -\frac{5}{\sqrt{26}}$

$\sin \theta = \tan \theta \times \cos \theta = -\frac{1}{5} \times (-\frac{5}{\sqrt{26}}) = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$

答えはイです。

(4) $\sin(90^\circ - \theta) + \sin(90^\circ + \theta) + 2\cos(180^\circ - \theta)$を計算します。

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$

$\sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta$

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$

よって、$\cos \theta + \cos \theta + 2(-\cos \theta) = 2\cos \theta - 2\cos \theta = 0$

答えはウです。

(5) $\sin(70^\circ) + \cos(130^\circ) + \sin(40^\circ) + \cos(150^\circ) + \cos(160^\circ)$を計算します。

$\cos(130^\circ) = \cos(90^\circ + 40^\circ) = -\sin(40^\circ)$

$\cos(150^\circ) = \cos(90^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\sin(70^\circ - 10^\circ)$

$\cos(160^\circ) = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos(20^\circ)$

$\sin(70^\circ) + \cos(130^\circ) + \sin(40^\circ) + \cos(150^\circ) + \cos(160^\circ) = \sin(70^\circ) - \sin(40^\circ) + \sin(40^\circ) + \cos(150^\circ) + \cos(160^\circ) = \sin(70^\circ) - \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos(20^\circ)$

$\cos(150^\circ) + \cos(160^\circ) = \cos(90 + 60) + \cos(180-20) = - \sin(60) - \cos(20) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos(20)$.

$\sin(70) = \cos(20)$.

Therefore, $\sin(70) + \cos(130) + \sin(40) + \cos(150) + \cos(160) = \cos(20) - \sin(40) + \sin(40) - \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos(20) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin(70^\circ) + \cos(130^\circ) + \sin(40^\circ) + \cos(150^\circ) + \cos(160^\circ) = \sin(70^\circ) - \sin(40^\circ) + \sin(40^\circ) - \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos(160^\circ) = \sin(70^\circ) - \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos(20^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 70 + \cos 130 + \sin 40 + \cos 150 + \cos 160 = \sin 70 - \sin 40 + \sin 40 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos 20 = \sin 70 - \cos 20 - \frac{\sqrt{3}}{2}=0 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

答えはオです。

3. 最終的な答え

1: イ

2: エ

3: イ

4: ウ

5: オ