(1) $90^\circ < \theta < 180^\circ$ で、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める問題です。 (2) $\triangle ABC$ において、面積が25、辺$AB$の長さが$5\sqrt{2}$、辺$BC$の長さが10であるとき、$\angle ABC$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $90^\circ < \theta < 180^\circ$ で、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める問題です。

(2) $\triangle ABC$ において、面積が25、辺$AB$の長さが$5\sqrt{2}$、辺$BC$の長さが10であるとき、$\angle ABC$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\cos \theta$ を求めます。$90^\circ < \theta < 180^\circ$ なので、$\cos \theta < 0$ であることに注意します。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\cos \theta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{-\frac{2}{\sqrt{5}}} = -\frac{1}{2}$

(2) $\triangle ABC$ の面積 $S$ は、 $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$ で与えられます。

面積が25、$AB = 5\sqrt{2}$、$BC = 10$ なので、

$25 = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \sin(\angle ABC)$

$\sin(\angle ABC) = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle ABC$ は $0^\circ < \angle ABC < 180^\circ$ なので、$\angle ABC = 45^\circ$ または $\angle ABC = 135^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\tan \theta = -\frac{1}{2}$

(2) $\angle ABC = 45^\circ$ または $\angle ABC = 135^\circ$