点A(2,2) と点B(6,4) が与えられている。x軸上に点Pを取り、AP + BP の長さが最短になるようにする。このときの直線APの式と点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(2,2) と点B(6,4) が与えられている。x軸上に点Pを取り、AP + BP の長さが最短になるようにする。このときの直線APの式と点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

点Bのx軸に関する対称点をB'とする。B'の座標は(6,-4)となる。

AP + BP が最小になるのは、A, P, B' が一直線上に並ぶときである。

直線AB'の式を求める。直線AB'の傾きmは、

$m = \frac{-4 - 2}{6 - 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

直線AB'の式を $y = -\frac{3}{2}x + b$ とする。

この直線は点A(2,2)を通るので、代入してbを求める。

$2 = -\frac{3}{2}(2) + b$

$2 = -3 + b$

$b = 5$

したがって、直線AB'の式は

$y = -\frac{3}{2}x + 5$

点Pは直線AB'とx軸の交点であるから、y=0を代入する。

$0 = -\frac{3}{2}x + 5$

$\frac{3}{2}x = 5$

$x = \frac{10}{3}$

よって、点Pの座標は$(\frac{10}{3}, 0)$である。

直線APの式は、上で求めた直線AB'の式と同じである。

3. 最終的な答え

直線APの式：$y = -\frac{3}{2}x + 5$

点Pの座標：$(\frac{10}{3}, 0)$