三角形ABCにおいて、3辺の長さが $x$, $x+2$, $x+4$ であるとき、以下の2つの問いに答えます。 (1) 三角形ABCが鈍角三角形となるような $x$ の値の範囲を求めます。 (2) 三角形ABCの最大角が $120^\circ$ となるような $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、3辺の長さが $x$, $x+2$, $x+4$ であるとき、以下の2つの問いに答えます。

(1) 三角形ABCが鈍角三角形となるような $x$ の値の範囲を求めます。

(2) 三角形ABCの最大角が $120^\circ$ となるような $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 鈍角三角形となる条件を求めます。

まず、三角形が成立するための条件は、$x + (x+2) > x+4$である必要があります。これは、$2x+2 > x+4$ より、$x > 2$ となります。また、$x>0$である必要があります。

次に、三角形ABCの最も長い辺は $x+4$ なので、この辺に対する角が鈍角である必要があります。余弦定理より、

$(x+4)^2 > x^2 + (x+2)^2$

$x^2+8x+16 > x^2 + x^2 + 4x + 4$

$0 > x^2 - 4x - 12$

$x^2 - 4x - 12 < 0$

$(x-6)(x+2) < 0$

$-2 < x < 6$

三角形が成立する条件 $x > 2$ と合わせて、$2 < x < 6$ が得られます。

(2) 最大角が $120^\circ$ となるような $x$ の値を求めます。余弦定理より、

$(x+4)^2 = x^2 + (x+2)^2 - 2 \cdot x \cdot (x+2) \cdot \cos 120^\circ$

$(x+4)^2 = x^2 + (x+2)^2 - 2 x (x+2) (-\frac{1}{2})$

$x^2+8x+16 = x^2 + x^2 + 4x + 4 + x(x+2)$

$x^2+8x+16 = x^2 + x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x$

$x^2+8x+16 = 2x^2 + 6x + 4 + x^2$

$0 = 2x^2 - 2x - 12$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

$x = 3$ または $x = -2$

$x>0$ なので、$x=3$となります。

3. 最終的な答え

(1) $2 < x < 6$

(2) $x = 3$