四面体OABCにおいて、OA = OB = OC = 4, AB = BC = CA = $2\sqrt{6}$である。辺ABの中点をM、頂点Oから直線CMに引いた垂線をOHとする。$\angle OMC = \theta$とする。 (1) $\cos \theta$を求め、OHの長さを求める。 (2) 四面体OAMHの体積を求める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、OA = OB = OC = 4, AB = BC = CA = $2\sqrt{6}$である。辺ABの中点をM、頂点Oから直線CMに引いた垂線をOHとする。$\angle OMC = \theta$とする。

(1) $\cos \theta$を求め、OHの長さを求める。

(2) 四面体OAMHの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta$を求める。

$\triangle ABC$において、MはABの中点なので、CMは中線。

$AC = BC = 2\sqrt{6}$より、$\triangle ABC$は二等辺三角形なので、CMはABを垂直に二等分する。

よって、$\angle CMA = 90^\circ$

$\triangle OMC$において、余弦定理より、

$OC^2 = OM^2 + CM^2 - 2 \cdot OM \cdot CM \cdot \cos \theta$

ここで、$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{16-6} = \sqrt{10}$

$CM = \sqrt{BC^2 - BM^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{24-6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$16 = 10 + 18 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos \theta$

$16 = 28 - 6\sqrt{20} \cos \theta$

$6\sqrt{20} \cos \theta = 12$

$\cos \theta = \frac{12}{6\sqrt{20}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

OHの長さを求める。

$\triangle OMC$の面積を2通りの方法で表す。

$\frac{1}{2} \cdot OM \cdot CM \cdot \sin \theta = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot OH$

$OH = OM \cdot \sin \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$OH = \sqrt{10} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{2}$

(2) 四面体OAMHの体積を求める。

四面体OAMHの体積 = $\frac{1}{3} \cdot \triangle AMH \cdot h$

$\triangle AMH = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AH$

$\triangle OMC$において、$\angle OHC = 90^\circ$なので、$CH = \sqrt{OC^2 - OH^2}$は使えない。

$AM = \sqrt{6}$

$OM = \sqrt{10}$

四面体OAMHの体積 = $\frac{1}{6} \cdot AM \cdot CM \cdot OH \cdot \sin \angle AMC = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AM \cdot OH) \cdot h$

$CH = CM - MH$

$\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AM \cdot OH) \cdot 高さ$

$\triangle OMC$の面積 = $\frac{1}{2} \cdot CM \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 6$

また、$\triangle OMC$の面積 = $\frac{1}{2} \cdot OM \cdot MC \cdot \sin \theta = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 6$

四面体OABCの体積を求める。

$V = \frac{1}{3} \cdot (\triangle ABC) \cdot (高さ)$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = 3\sqrt{12} = 6\sqrt{3}$

四面体OAMHの体積 = $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ であり, OH = $2\sqrt{2}$ である。

(2) 四面体OAMHの体積は $\frac{4\sqrt{2}}{3}$である。

ア: 1

イ: 5

ウ: 2

エ: 2

オ: 4

カ: 2

キ: 3