正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{CD}=\vec{c}$とする。ABを$s:(1-s)$に内分する点をP, CDを$t:(1-t)$に内分する点をQとする。EPとFQの交点をIとする。 (1) $\overrightarrow{FE}$を$\vec{a}, \vec{c}$を用いて表せ。 (2) $\overrightarrow{FQ}$を$\vec{a}, \vec{c}, t$を用いて表せ。 (3) $\overrightarrow{FI}=k\overrightarrow{FQ}, \overrightarrow{EI}=m\overrightarrow{EP}$とする。$k, m$を$s, t$を用いてそれぞれ表せ。 (4) $\triangle EFI$と$\triangle PQI$の面積をそれぞれ$S, S'$とする。$s+t=1$を満たしながら点P, 点Qが動くとき、$\frac{S}{S'}$のとり得る値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{CD}=\vec{c}$とする。ABを$s:(1-s)$に内分する点をP, CDを$t:(1-t)$に内分する点をQとする。EPとFQの交点をIとする。

(1) $\overrightarrow{FE}$を$\vec{a}, \vec{c}$を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{FQ}$を$\vec{a}, \vec{c}, t$を用いて表せ。

(3) $\overrightarrow{FI}=k\overrightarrow{FQ}, \overrightarrow{EI}=m\overrightarrow{EP}$とする。$k, m$を$s, t$を用いてそれぞれ表せ。

(4) $\triangle EFI$と$\triangle PQI$の面積をそれぞれ$S, S'$とする。$s+t=1$を満たしながら点P, 点Qが動くとき、$\frac{S}{S'}$のとり得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正六角形なので、$\overrightarrow{FE}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{a}$

(2) $\overrightarrow{FQ} = \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{FC} + (1-t)\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{FC} + (1-t)\vec{c}$

ここで、$\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ED}=-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB} = \vec{a} - \vec{c}$

したがって、$\overrightarrow{FQ} = \vec{a} - \vec{c} + (1-t)\vec{c} = \vec{a} - t\vec{c}$

(3) $\overrightarrow{FI}=k\overrightarrow{FQ}=k(\vec{a}-t\vec{c})$

$\overrightarrow{EI}=m\overrightarrow{EP}$

$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EI} = \overrightarrow{AE} + m\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{AE} + m(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AE}) = (1-m)\overrightarrow{AE} + m\overrightarrow{AP}$

$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}=s\vec{a}$

$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CD} = \vec{a}+2\vec{c}$

$\overrightarrow{AI} = (1-m)(\vec{a}+2\vec{c}) + ms\vec{a} = (1-m+ms)\vec{a} + 2(1-m)\vec{c}$

一方、

$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FI} = \overrightarrow{AF} + k\overrightarrow{FQ} = 2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+ k(\vec{a}-t\vec{c}) = 2\vec{a}-\vec{c}+k\vec{a}-kt\vec{c} = (2+k)\vec{a}-(1+kt)\vec{c}$

係数比較により、

$1-m+ms = 2+k \implies -m(1-s) = 1+k$

$2(1-m)=kt \implies 2-2m=kt$

$1-m+ms = 2+k$より、$m = \frac{-1-k}{1-s}$

$2-2(\frac{-1-k}{1-s}) = kt$

$2(1-s)+2(1+k)=kt(1-s)$

$4-2s+2k = kt(1-s)$

$2(2-s+k)=kt-kts$

$2(2-s)+2k = kt-kst$

ここで、$s+t=1$より、$t=1-s$, $s=1-t$

$2(1+t)+2k = k(1-s)-ks(1-s)$

$2+2t+2k = k-ks-k+ks = 0$

$2+2t+2k=0$

$1+t=-k$

$k=-(1+t)$

$m=\frac{-1-( -(1+t))}{1-s} = \frac{t}{t}=1$

したがって、$k=-(1+t), m=1$

(4) $\frac{S}{S'}$を求める。$s+t=1$

$S = \frac{1}{2} | \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EI}|$

$\overrightarrow{EF} = \vec{a}$

$\overrightarrow{EI} = m\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{EP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AE} = s\vec{a} - (\vec{a}+2\vec{c}) = (s-1)\vec{a} - 2\vec{c} = -t\vec{a}-2\vec{c}$

$S=\frac{1}{2}| \vec{a} \times (-t\vec{a}-2\vec{c})| = \frac{1}{2}|-2(\vec{a}\times\vec{c})| = |\vec{a}\times\vec{c}|$

$S' = \frac{1}{2} | \overrightarrow{PI} \times \overrightarrow{PQ}|$

$\overrightarrow{PI} = \overrightarrow{FI} - \overrightarrow{FP} = k\overrightarrow{FQ} - (1-s)\overrightarrow{AB} = -(1+t)(\vec{a}-t\vec{c}) - (1-s)\vec{a} = -(1+t)\vec{a}+(1+t)t\vec{c} - t\vec{a} = (-1-2t)\vec{a}+(t+t^2)\vec{c}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} = (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DQ}) - s\overrightarrow{AB} = \vec{a}+(-\vec{c})+\vec{c}+(1-t)(-\vec{c}) -s\vec{a} = (1-s)\vec{a}+(t-1)\vec{c} = t\vec{a}-t\vec{c}$

$S' = \frac{1}{2}|((-1-2t)\vec{a}+(t+t^2)\vec{c}) \times (t\vec{a}-t\vec{c})| = \frac{1}{2}| (1+2t)t(\vec{a}\times\vec{c}) + (t+t^2)t (\vec{c}\times\vec{a}) |$

$= \frac{1}{2} | (t+2t^2)(\vec{a}\times\vec{c}) - (t^2+t^3) (\vec{a}\times\vec{c}) | = \frac{1}{2}| (t+t^2-t^3)(\vec{a}\times\vec{c})|$

$\frac{S}{S'} = \frac{|\vec{a}\times\vec{c}|}{\frac{1}{2} | t+t^2-t^3 | |\vec{a}\times\vec{c}|} = \frac{2}{t+t^2-t^3}$

$f(t)=t+t^2-t^3$

$f'(t)=1+2t-3t^2$

$f'(t)=0$ のとき、$3t^2-2t-1=0 \implies (3t+1)(t-1)=0$

$t=1, -\frac{1}{3}$

$s+t=1$より、$0<t<1$

$f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}=\frac{18+12-8}{27}=\frac{22}{27}$

$t \to 0$のとき、$f(t) \to 0$

$t \to 1$のとき、$f(t) \to 1$

$\frac{2}{f(t)}$ のとりうる範囲は、$2 < \frac{2}{f(t)} \leq \frac{2*27}{22} = \frac{27}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{FE}=-\vec{a}$

(2) $\overrightarrow{FQ} = \vec{a}-t\vec{c}$

(3) $k=-(1+t), m=1$

(4) $2<\frac{S}{S'} \leq \frac{27}{11}$