一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺OB上に中点Mをとる。辺OC上に点Pを、AP+PMが最も短くなるようにとる。このとき、(1) AP+PMの値、(2) APの値、(3) OPの値と、四面体OAPMの体積が正四面体OABCの体積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺OB上に中点Mをとる。辺OC上に点Pを、AP+PMが最も短くなるようにとる。このとき、(1) AP+PMの値、(2) APの値、(3) OPの値と、四面体OAPMの体積が正四面体OABCの体積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) AP+PMを最小にするには、Aから線分OC上の点Pを通ってMへ行く経路を考える。正四面体を展開し、A, P, Mが一直線上にあるときAP+PMが最小になる。

正四面体OABCの展開図を考える。点Aから点Mに至る最短距離は、展開図上で線分AMの長さになる。

OB = 6なので、OM = 3である。

OからOCに沿って正四面体を展開すると、∠AOB = ∠BOC = 60°となる。従って、∠AOC = 120°になる。

△AOMにおいて、OA = 6, OM = 3, ∠AOM = 60°+60° = 120°なので、余弦定理より、

$AM^2 = OA^2 + OM^2 - 2OA \cdot OM \cos{120°}$

$AM^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 36 + 9 + 18 = 63$

$AM = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

したがって、AP+PM = $3\sqrt{7}$

(2) PはOC上にあるので、AP+PMが最小になるのは、点A, P, Mが一直線上にあるときである。

点AからOCに垂線AHを下ろすと、∠AOC = 120°なので、∠AOH = 30°となる。

△AOHにおいて、AH = OA * sin(30) = 6 * 1/2 = 3。OH = OA * cos(30) = 6 * $\sqrt{3}$/2 = $3\sqrt{3}$。

△OPH∽△OMBからOP/OM = AH/AMなので、OP = OM * (AH/AM)

OH:OC=OP:OMになるから、$\frac{OH}{OC}=\frac{OP}{OM}$が成り立つ。

また、$\frac{AH}{OA}=\frac{AP}{AM}$より、$AP=\frac{AH}{OA} \times AM = \frac{3}{6} \times 3\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$

(3) OPの長さを求める。

$\frac{OC-OH}{OC}=\frac{MC}{OM}$なので、$OP=\frac{OM}{OC}OC = \frac{AM}{OA}AP$

$OP = \frac{AM}{AH}OC = \frac{3\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}$

直線AMと直線OCの交点をPとすると、

$\triangle AOH$と$\triangle COM$は相似であるから、$OC=6$, $OM=3$なので、$AH=3$と$OH=3\sqrt{3}$.

$\triangle APM$について，$AP:PM=OA:OM$

$\triangle AOP$と$\triangle MOB$は相似ではない。

AP:PM = OH:MC = $3\sqrt{3}:3(2-\sqrt{3})$

$AP=\frac{3\sqrt{7}}{2}$, $OP = \frac{7}{2}$

正四面体OABCの体積は、

$V_{OABC} = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 6^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 216 = 18\sqrt{2}$

四面体OAPMの体積は、$V_{OAPM} = \frac{1}{3} \cdot (四面体OBCAの体積) \cdot \frac{OP}{OC} \cdot \frac{OM}{OB} = 18\sqrt{2} \cdot \frac{7/2}{6} \cdot \frac{3}{6} = 18\sqrt{2} \cdot \frac{7}{12} \cdot \frac{1}{2} = \frac{63\sqrt{2}}{12} = \frac{21\sqrt{2}}{4}$

$\frac{V_{OAPM}}{V_{OABC}} = \frac{\frac{21\sqrt{2}}{4}}{18\sqrt{2}} = \frac{21}{4 \cdot 18} = \frac{21}{72} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

(1) AP+PM = $3\sqrt{7}$

(2) AP = $\frac{3\sqrt{7}}{2}$

(3) OP = $\frac{7}{2}$。四面体OAPMの体積は、正四面体OABCの体積の $\frac{7}{24}$ 倍である。