一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺OB上に中点Mがある。辺OC上に点PをAP+PMが最も短くなるようにとる。このとき、AP+PM、AP、OPの値を求め、さらに四面体OAPMの体積が正四面体OABCの体積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺OB上に中点Mがある。辺OC上に点PをAP+PMが最も短くなるようにとる。このとき、AP+PM、AP、OPの値を求め、さらに四面体OAPMの体積が正四面体OABCの体積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) AP + PMの最小値：

点Bに関して点Aを対称な点A'をとると、線分A'Mの長さがAP + PMの最小値に等しくなる。

三角形OA'Mにおいて、$OA'=OA=6$, $OM = \frac{1}{2}OB = 3$, $\angle A'OM = \angle AOB = 60^\circ$である。

余弦定理より、

$A'M^2 = OA'^2 + OM^2 - 2 OA' OM \cos{60^\circ} = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 36+9-18 = 27$

したがって、$A'M = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。

(2) APの長さ：

AP+PMが最小となるのは、A'Mが直線になるときである。このとき、点Pは線分OC上にあり、点Pは線分A'MとOCの交点である。

$\triangle OA'M$と直線OCにおいて、メネラウスの定理より、

$\frac{OC}{CP} \cdot \frac{PA'}{A'M} \cdot \frac{MO}{OC} = 1$

$\frac{OC}{CP} \cdot \frac{PA'}{A'M} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{OP+PC}{PC} \cdot \frac{A'P}{A'M} \cdot \frac{3}{6} = 1$

また、$\triangle OA'P \sim \triangle CMP$なので、$\frac{A'P}{MP} = \frac{OA'}{MC}$

$AP+PM$が最小となるとき、点PはOCをA'Mを$2:1$に内分する点なので、$\frac{A'P}{PM}=\frac{OC}{MB} = \frac{6}{\frac{6}{2}}=2$

$\frac{OC}{CP} \cdot \frac{OC}{\frac{1}{3}} =1$

したがって、$\frac{OP}{PC} = \frac{2}{1}$

$\frac{OP}{OC}=\frac{2}{3}$, $OP=4$。

$\triangle OAP$において、余弦定理より、

$AP^2 = OA^2+OP^2-2OA\cdot OP \cdot \cos{60^\circ} = 6^2 + 4^2 - 2\cdot 6\cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 36+16-24 = 28$

したがって、$AP = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。

(3) OPの長さと体積比：

$OP=4$。

正四面体OABCの体積をVとすると、$V=\frac{\sqrt{2}}{12} \times 6^3 = 18\sqrt{2}$

四面体OAPMの体積は、$\frac{OM}{OB} \cdot \frac{OP}{OC}$倍になるので、

$\frac{1}{2} \times \frac{4}{6} = \frac{1}{3}$倍になる。

$V_{OAPM} = \frac{1}{3}V=\frac{1}{3}(18\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$

四面体OAPMの体積は、正四面体OABCの体積の$\frac{1}{3}$倍である。

3. 最終的な答え

(1) $AP+PM = 3\sqrt{3}$

(2) $AP = 2\sqrt{7}$

(3) $OP = 4$。四面体OAPMの体積は、正四面体OABCの体積の$\frac{1}{3}$倍である。