三角形OABにおいて、ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$のなす角を$\theta (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$とする。実数$s, t$は$0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$, $0 \le s + \frac{1}{2}t \le 1$を満たすとする。$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$と定める。 (1) 点Pの存在範囲を図示せよ。 (2) $|\overrightarrow{OA}| = \sin \theta + 2\cos \theta$, $|\overrightarrow{OB}| = 4$とする。点Pの存在範囲の面積を$2\theta$の関数で表せ。 (3) (2)で求めた面積の最大値を求めよ。ただし、そのときの$\theta$の値を求める必要はない。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$のなす角を$\theta (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$とする。実数$s, t$は$0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$, $0 \le s + \frac{1}{2}t \le 1$を満たすとする。$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$と定める。

(1) 点Pの存在範囲を図示せよ。

(2) $|\overrightarrow{OA}| = \sin \theta + 2\cos \theta$, $|\overrightarrow{OB}| = 4$とする。点Pの存在範囲の面積を$2\theta$の関数で表せ。

(3) (2)で求めた面積の最大値を求めよ。ただし、そのときの$\theta$の値を求める必要はない。

2. 解き方の手順

(1) $s + \frac{1}{2}t \le 1$より、$2s + t \le 2$、つまり$t \le -2s + 2$となる。また、$0 \le s \le 1$、$0 \le t \le 1$である。

点Pの存在範囲は、点O, A, Cを通る四角形OACBの内部および周上となる。ただし、点Cは線分$2\overrightarrow{OA}$の終点であり、点Bは$\overrightarrow{OB}$の終点である。また点Pは、線分OBと$2\overrightarrow{OA}$を結んだ線の式$2s + t = 2$の内側である。線分ACは$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$の内側を通る。

$2s + t = 2$より、$t = 2 - 2s$である。

$0 \le s \le 1$および$0 \le t \le 1$という条件から、

$0 \le 2 - 2s \le 1$となり、$1 \le 2s \le 2$、つまり$\frac{1}{2} \le s \le 1$となる。

したがって、点Pの存在範囲は、O, A, D, Eを結ぶ四角形の内部および周上である。ただし、Dは$\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$の終点であり、Eは$s=1$に対応する点である。

すなわち、Eは$\overrightarrow{OA}$の終点である。

(2) 点Pの存在範囲は平行四辺形OADEであるから、その面積Sは、

$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin \theta = \frac{1}{2} (\sin \theta + 2\cos \theta) \cdot 4 \cdot \sin \theta = 2(\sin \theta + 2\cos \theta)\sin \theta = 2\sin^2 \theta + 4\sin \theta \cos \theta$

ここで、$2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$、$2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$より、

$S = (1 - \cos 2\theta) + 2\sin 2\theta = 2\sin 2\theta - \cos 2\theta + 1$

(3) $S = 2\sin 2\theta - \cos 2\theta + 1$を三角関数の合成を用いて変形する。

$S = \sqrt{2^2 + (-1)^2} \sin (2\theta + \alpha) + 1 = \sqrt{5} \sin (2\theta + \alpha) + 1$

ただし、$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}$である。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$より、$0 < 2\theta < \pi$である。

$\alpha$は第4象限の角であるから、$2\theta + \alpha$の値域は$(\alpha, \pi + \alpha)$となる。

したがって、$S$の最大値は、$\sin (2\theta + \alpha) = 1$のときである。

$S_{max} = \sqrt{5} + 1$

3. 最終的な答え

(1) 点Pの存在範囲は、O, A, D, Eを結ぶ四角形の内部および周上である。ただし、Dは線分$\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$の終点であり、Eは$\overrightarrow{OA}$の終点である。

(2) $S = 2\sin 2\theta - \cos 2\theta + 1$

(3) $\sqrt{5} + 1$