直線 $y=3x$ と $x$ 軸、直線 $x=21$ で囲まれた図形 $T$ の内部にある格子点の個数を求める問題です。$1 \le n \le 20$ のとき、直線 $x=n$ 上の格子点で $T$ の内部にあるものの個数を $a_n$ とおき、$a_1=2$ である。$a_2$, $a_3$ を求め、数列 $\{a_n\}$ がどのような数列であるかを判断し、それに基づいて $T$ の内部にある格子点の個数を求めます。

1. 問題の内容

直線 $y=3x$ と $x$ 軸、直線 $x=21$ で囲まれた図形 $T$ の内部にある格子点の個数を求める問題です。$1 \le n \le 20$ のとき、直線 $x=n$ 上の格子点で $T$ の内部にあるものの個数を $a_n$ とおき、$a_1=2$ である。$a_2$, $a_3$ を求め、数列 $\{a_n\}$ がどのような数列であるかを判断し、それに基づいて $T$ の内部にある格子点の個数を求めます。

2. 解き方の手順

* $a_2$ を求める。直線 $x=2$ 上の格子点で $y>0$ かつ $y<3 \times 2 = 6$ を満たす整数 $y$ は、$1, 2, 3, 4, 5$ の5個なので、$a_2 = 5$。

* $a_3$ を求める。直線 $x=3$ 上の格子点で $y>0$ かつ $y<3 \times 3 = 9$ を満たす整数 $y$ は、$1, 2, ..., 8$ の8個なので、$a_3 = 8$。

* 数列 $\{a_n\}$ の種類を特定する。$a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 8$ より、$a_2 - a_1 = 3$、$a_3 - a_2 = 3$ であるため、数列 $\{a_n\}$ は公差が3の等差数列である。

* 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1$

* $T$ の内部にある格子点の個数を求める。これは $\sum_{n=1}^{20} a_n$ で計算できる。

$\sum_{n=1}^{20} a_n = \sum_{n=1}^{20} (3n - 1) = 3 \sum_{n=1}^{20} n - \sum_{n=1}^{20} 1 = 3 \times \frac{20 \times 21}{2} - 20 = 3 \times 210 - 20 = 630 - 20 = 610$

3. 最終的な答え

ア: 5

イ: 8

ウ: 公差

エ: 3

オ: 等差

カキク: 610