カメラの画角を表した図が与えられており、カメラの位置をO、被写体の位置をMとする。OM = 1m, ∠AOM = 75°, ∠BOM = 60°, sin 15° = 0.25 = 1/4 である。 (1) $\frac{1}{tan 15^\circ}$ の値を求める。 (2) OA = t(m) とするとき、三角形ABOの面積をtを用いて表す。 (3) 三角形ABOの面積を利用して、$\frac{AM}{BM}$ を求める。

1. 問題の内容

カメラの画角を表した図が与えられており、カメラの位置をO、被写体の位置をMとする。OM = 1m, ∠AOM = 75°, ∠BOM = 60°, sin 15° = 0.25 = 1/4 である。

(1) $\frac{1}{tan 15^\circ}$ の値を求める。

(2) OA = t(m) とするとき、三角形ABOの面積をtを用いて表す。

(3) 三角形ABOの面積を利用して、$\frac{AM}{BM}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\tan 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}$ であるから、$\frac{1}{\tan 15^\circ} = \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$

$\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ = 1$ より、$\cos^2 15^\circ = 1 - \sin^2 15^\circ = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

よって、

$\frac{1}{\tan 15^\circ} = \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15}$

(2)

三角形ABOの面積を求める。

$\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 75^\circ + 60^\circ = 135^\circ$

三角形ABOの面積は、$S = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin \angle AOB$

$OA = t$ であり、$OB$ は分からない。

直角三角形OAMにおいて、$AM = OM \tan 75^\circ = \tan 75^\circ$

直角三角形OBMにおいて、$BM = OM \tan 60^\circ = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

$\tan 75^\circ = \frac{\sin 75^\circ}{\cos 75^\circ} = \frac{\sin(45^\circ + 30^\circ)}{\cos(45^\circ + 30^\circ)} = \frac{\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ}{\cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ}$

$= \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$AM = 2+\sqrt{3}$

$\frac{OA}{OM} = \frac{t}{1} = t$ より、$\frac{AM}{OM} = AM = \tan 75^\circ = 2+\sqrt{3}$

$\frac{OB}{OM} = \frac{OB}{1} = OB$, $\frac{BM}{OM} = BM = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

$\frac{OA}{OB} = \frac{AM}{BM} = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$OB = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} OA = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} t = \frac{\sqrt{3} (2-\sqrt{3})}{4-3} t = (2\sqrt{3}-3)t$

三角形ABOの面積は、$S = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2} t (2\sqrt{3}-3)t \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{2}} t^2 = \frac{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{4} t^2$

(3)

$\frac{AM}{BM} = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3}) \sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}+3}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{15}$

(2) $\frac{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{4} t^2$

(3) $\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$