円Oに内接する四角形ABCDがあり、AB = 3, BC = CD = $\sqrt{3}$, $\cos \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{6}$ である。 このとき、以下の値を求める問題です。 (1) ACとADの長さ (2) $\sin \angle ABC$ (3) 円Oの半径 (4) 四角形ABCDの面積

1. 問題の内容

円Oに内接する四角形ABCDがあり、AB = 3, BC = CD = $\sqrt{3}$, $\cos \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{6}$ である。

このとき、以下の値を求める問題です。

(1) ACとADの長さ

(2) $\sin \angle ABC$

(3) 円Oの半径

(4) 四角形ABCDの面積

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$AC^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = 9 + 3 - 3 = 9$

$AC = 3$

次に$\angle ADC$を求める。

円に内接する四角形の対角の和は180度であるから、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$。

よって、$\cos \angle ADC = \cos (180^\circ - \angle ABC) = -\cos \angle ABC = -\frac{\sqrt{3}}{6}$.

余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$

$3^2 = AD^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot AD \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{6})$

$9 = AD^2 + 3 + AD$

$AD^2 + AD - 6 = 0$

$(AD+3)(AD-2) = 0$

$AD>0$より、$AD=2$

(2) $\sin \angle ABC$を求める。

$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$ より、

$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{6})^2 = 1 - \frac{3}{36} = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$

$\sin \angle ABC = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$ （$\angle ABC$は0から180度なので、sinは正）

(3) 円Oの半径Rを求める。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$

$2R = \frac{3}{\frac{\sqrt{33}}{6}} = \frac{18}{\sqrt{33}} = \frac{18\sqrt{33}}{33} = \frac{6\sqrt{33}}{11}$

$R = \frac{3\sqrt{33}}{11}$

(4) 四角形ABCDの面積Sを求める。

S = $\triangle ABC$ + $\triangle ADC$

S = $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin \angle ADC$

ここで、$\sin \angle ADC = \sin(180^\circ - \angle ABC) = \sin \angle ABC = \frac{\sqrt{33}}{6}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{33}}{6} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{33}}{6}$

$S = \frac{3\sqrt{99}}{12} + \frac{2\sqrt{99}}{12} = \frac{5\sqrt{99}}{12} = \frac{5\sqrt{9 \cdot 11}}{12} = \frac{5 \cdot 3 \sqrt{11}}{12} = \frac{5\sqrt{11}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) AC = 3, AD = 2

(2) $\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{33}}{6}$

(3) 円Oの半径 = $\frac{3\sqrt{33}}{11}$

(4) 四角形ABCDの面積 = $\frac{5\sqrt{11}}{4}$