原点をOとする座標空間に3点A(2,1,0), B(5,2,-1), C(1,-5,1)がある。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とし、3点O, A, Bを通る平面をSとする。 (1) $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ を求めよ。また、$\cos \angle AOB$ を求めよ。 (2) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。 (3) 点Cから平面Sに下ろした垂線と平面Sとの交点をPとする。$\overrightarrow{OP} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を満たすs, tを求めよ。 (4) 四面体OABCの体積を求めよ。

1. 問題の内容

原点をOとする座標空間に3点A(2,1,0), B(5,2,-1), C(1,-5,1)がある。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とし、3点O, A, Bを通る平面をSとする。

(1) $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ を求めよ。また、$\cos \angle AOB$ を求めよ。

(2) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。

(3) 点Cから平面Sに下ろした垂線と平面Sとの交点をPとする。$\overrightarrow{OP} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を満たすs, tを求めよ。

(4) 四面体OABCの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を求める。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}$

$\cos \angle AOB$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(5) + (1)(2) + (0)(-1) = 10 + 2 + 0 = 12$

$\cos \angle AOB = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{12}{\sqrt{5} \sqrt{30}} = \frac{12}{\sqrt{150}} = \frac{12}{5\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{30} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\triangle OAB$ の面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

$S = \frac{1}{2} \sqrt{(5)(30) - (12)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{150 - 144} = \frac{1}{2} \sqrt{6}$

(3) $\overrightarrow{OP} = s\vec{a} + t\vec{b}$ であり、$\overrightarrow{CP}$ は平面Sに垂直であるから、$\overrightarrow{CP} \cdot \vec{a} = 0$ かつ $\overrightarrow{CP} \cdot \vec{b} = 0$ が成り立つ。

$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{b} = s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 - (\vec{c} \cdot \vec{b}) = 0$

$\vec{c} \cdot \vec{a} = (1)(2) + (-5)(1) + (1)(0) = 2 - 5 + 0 = -3$

$\vec{c} \cdot \vec{b} = (1)(5) + (-5)(2) + (1)(-1) = 5 - 10 - 1 = -6$

$5s + 12t + 3 = 0$

$12s + 30t + 6 = 0$

$5s + 12t = -3$

$12s + 30t = -6$

$60s + 144t = -36$

$60s + 150t = -30$

$6t = 6$

$t = 1$

$5s + 12 = -3$

$5s = -15$

$s = -3$

(4) 四面体OABCの体積Vを求める。

平面OABの法線ベクトル $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 2, 0 \cdot 5 - 2 \cdot (-1), 2 \cdot 2 - 1 \cdot 5) = (-1, 2, -1)$

$|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$

点Cから平面OABまでの距離hは $| \overrightarrow{OC} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}| = |\vec{c} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} | = | \frac{\vec{c} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|}|$

$\vec{c} \cdot \vec{n} = (1)(-1) + (-5)(2) + (1)(-1) = -1 - 10 - 1 = -12$

$h = \frac{|-12|}{\sqrt{6}} = \frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

$V = \frac{1}{3} \times (\triangle OABの面積) \times h = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{6}}{2} \times 2\sqrt{6} = \frac{1}{3} \times \sqrt{6} \times \sqrt{6} = \frac{6}{3} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{5}$, $|\vec{b}| = \sqrt{30}$, $\cos \angle AOB = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\triangle OAB = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(3) $s = -3$, $t = 1$

(4) $V = 2$