正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{CD} = \vec{c}$ とする。 辺AEを $s: (1-s)$ に内分する点をP、辺CDを $t: (1-t)$ に内分する点をQとする。ただし、$0 < s < 1$, $0 < t < 1$ である。 EPとFQの交点をIとする。以下の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{FE}$ を $\vec{a}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。 (2) $\overrightarrow{FQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{c}$, $t$ を用いて表せ。 (3) $\overrightarrow{FI} = k \overrightarrow{FQ}$, $\overrightarrow{EI} = m \overrightarrow{EP}$ とする。 $k$, $m$ を $s$, $t$ を用いてそれぞれ表せ。 (4) $\triangle EFI$ と $\triangle PQI$ の面積をそれぞれ $S$, $S'$ とする。$s + t = 1$ を満たしながら点P, Qが動くとき、$\frac{S}{S'}$ のとり得る値の範囲を求めよ。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{CD} = \vec{c}$ とする。

辺AEを $s: (1-s)$ に内分する点をP、辺CDを $t: (1-t)$ に内分する点をQとする。ただし、$0 < s < 1$, $0 < t < 1$ である。

EPとFQの交点をIとする。以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{FE}$ を $\vec{a}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{FQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{c}$, $t$ を用いて表せ。

(3) $\overrightarrow{FI} = k \overrightarrow{FQ}$, $\overrightarrow{EI} = m \overrightarrow{EP}$ とする。 $k$, $m$ を $s$, $t$ を用いてそれぞれ表せ。

(4) $\triangle EFI$ と $\triangle PQI$ の面積をそれぞれ $S$, $S'$ とする。$s + t = 1$ を満たしながら点P, Qが動くとき、$\frac{S}{S'}$ のとり得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正六角形の性質より、$\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{c}$

(2) $\overrightarrow{FQ} = \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CQ} = \vec{a} + t \overrightarrow{CD} = \vec{a} + t \vec{c}$

(3) $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FI} = \overrightarrow{AF} + k\overrightarrow{FQ} = -\vec{c} + k(\vec{a} + t\vec{c}) = k\vec{a} + (kt - 1)\vec{c}$

$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EI} = 2\vec{a} + m\overrightarrow{EP} = 2\vec{a} + m(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AE}) = 2\vec{a} + m(s\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AE}) = 2\vec{a} + m(s(2\vec{a}) - 2\vec{a}) = (2 + 2ms - 2m)\vec{a} = 2(1 + ms - m)\vec{a}$

よって、

$k = 2(1 + ms - m)$

$kt - 1 = 0$ (∵$\vec{a}$ と $\vec{c}$ は一次独立)

$kt = 1$ より $k = \frac{1}{t}$

$\frac{1}{t} = 2(1 + ms - m) = 2(1 + m(s - 1))$

$\frac{1}{2t} = 1 + m(s - 1)$

$m = \frac{\frac{1}{2t} - 1}{s - 1} = \frac{1 - 2t}{2t(s - 1)}$

$\overrightarrow{EP} = s\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AE}=(s-1)2\vec{a}=2(s-1)\vec{a}$

$\overrightarrow{FQ} = \vec{a} + t\vec{c}$

$\overrightarrow{FI} = k\overrightarrow{FQ} = \frac{1}{t}(\vec{a} + t\vec{c}) = \frac{1}{t}\vec{a} + \vec{c}$

$\overrightarrow{EI} = m\overrightarrow{EP} = \frac{1-2t}{2t(s-1)}2(s-1)\vec{a}=\frac{1-2t}{t}\vec{a}$

$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EI} = 2\vec{a} + \frac{1-2t}{t}\vec{a} = \frac{2t+1-2t}{t}\vec{a} = \frac{1}{t}\vec{a}$

$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FI} = -\vec{c} + \frac{1}{t}\vec{a} + \vec{c} = \frac{1}{t}\vec{a}$

したがって、$k = \frac{1}{t}$, $m = \frac{1-2t}{t}$

(4) $\triangle EFI = \frac{1}{2} |\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EI}|$

$\overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{FE} = -(\vec{a} + \vec{c})$

$\overrightarrow{EI} = m \overrightarrow{EP} = \frac{1-2t}{t} \vec{a}$

$S = \frac{1}{2} |-(\vec{a} + \vec{c}) \times \frac{1-2t}{t} \vec{a}| = \frac{1}{2} |\frac{1-2t}{t} (\vec{a} \times \vec{a}) + \frac{1-2t}{t} (\vec{c} \times \vec{a})| = \frac{1}{2} |\frac{1-2t}{t} (\vec{c} \times \vec{a})| = \frac{|1-2t|}{2t} |\vec{c} \times \vec{a}|$

$S' = \frac{1}{2} |\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PI}|$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AQ} = (1-s)\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CQ} = 2(1-s)\vec{a} + \vec{a} + \vec{c} + (1-t)\vec{c} = (3-2s)\vec{a} + (2-t)\vec{c}$

$\overrightarrow{PI} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AP} = \frac{1}{t}\vec{a} - s\overrightarrow{AE} = \frac{1}{t}\vec{a} - 2s\vec{a} = (\frac{1}{t} - 2s)\vec{a}$

$S' = \frac{1}{2} |((3-2s)\vec{a} + (2-t)\vec{c}) \times (\frac{1}{t} - 2s)\vec{a}|$

$S' = \frac{1}{2} |(3-2s)(\frac{1}{t}-2s)(\vec{a} \times \vec{a}) + (2-t)(\frac{1}{t}-2s)(\vec{c} \times \vec{a})| = \frac{1}{2} |(2-t)(\frac{1}{t}-2s)(\vec{c} \times \vec{a})|$

$S' = \frac{1}{2} |(2-t)(\frac{1-2st}{t})(\vec{c} \times \vec{a})| = \frac{|(2-t)(1-2st)|}{2t} |\vec{c} \times \vec{a}|$

$\frac{S}{S'} = \frac{\frac{|1-2t|}{2t}}{\frac{|(2-t)(1-2st)|}{2t}} = \frac{|1-2t|}{|(2-t)(1-2st)|} = \frac{|1-2t|}{|(2-t)(1-2s(1-s))|}$ (∵ $t=1-s$)

$f(s) = \frac{|1-2(1-s)|}{|(2-(1-s))(1-2s(1-s))|} = \frac{|2s-1|}{|(1+s)(1-2s+2s^2)|}$

ここで$0<s<1$

$s=\frac{1}{2}$のとき$f(s)=0$

$f(0)=\frac{1}{1}=1$,$f(1)=\frac{1}{2}$

$f(\frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}}{(\frac{4}{3})(1-\frac{2}{3}+\frac{2}{9})}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}\frac{7}{9}}=\frac{9}{28}$

最終的な答え

(1) $\overrightarrow{FE} = \vec{a} + \vec{c}$

(2) $\overrightarrow{FQ} = \vec{a} + t\vec{c}$

(3) $k = \frac{1}{t}$, $m = \frac{1-2t}{t}$

(4) $0\le \frac{S}{S'} < 1$

$\frac{S}{S'}$のとりうる値の範囲は $[0, 1)$