四面体ABCDにおいて、$AB=BC=CA=8$, $CD=5$, $AD=7$である。 (1) $\angle ACD$を求める。 (2) 辺AC上に点Pをとり、$l = BP + PD$とおくとき、$l$の最小値を求める。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$AB=BC=CA=8$, $CD=5$, $AD=7$である。

(1) $\angle ACD$を求める。

(2) 辺AC上に点Pをとり、$l = BP + PD$とおくとき、$l$の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ACD$において、余弦定理を用いる。$\angle ACD = \theta$とすると、

$$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos{\theta}$$

$$7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos{\theta}$$

$$49 = 64 + 25 - 80 \cos{\theta}$$

$$80 \cos{\theta} = 64 + 25 - 49 = 40$$

$$\cos{\theta} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$$

したがって、$\theta = 60^\circ$

(2) 点Bに関してACで線対称な点B'を取ると、$BP=B'P$なので、$l = BP + PD = B'P + PD$となる。

$l$が最小になるのは、$B'$, $P$, $D$が一直線上にあるときである。

したがって、$l$の最小値は、$B'D$の長さに等しい。

$\triangle ABC$は正三角形なので、$\angle BAC = 60^\circ$。よって、$\angle B'AC = \angle BAC = 60^\circ$。

$AB'=AB=8$, $AD=7$, $\angle DAB' = \angle DAC + \angle CAB' = \angle DAC + 60^\circ$

$\triangle ADC$において、余弦定理より、

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos{\angle DAC}$

$5^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos{\angle DAC}$

$25 = 64 + 49 - 112 \cos{\angle DAC}$

$112 \cos{\angle DAC} = 64 + 49 - 25 = 88$

$\cos{\angle DAC} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14}$

$\triangle AB'D$において、余弦定理より、

$B'D^2 = AB'^2 + AD^2 - 2 \cdot AB' \cdot AD \cdot \cos{\angle DAB'}$

$B'D^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos{\left(\angle DAC + 60^\circ\right)}$

$\cos{(\angle DAC + 60^\circ)} = \cos{\angle DAC} \cos{60^\circ} - \sin{\angle DAC} \sin{60^\circ}$

$= \frac{11}{14} \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{1-\left(\frac{11}{14}\right)^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{11}{28} - \frac{\sqrt{196-121}}{14} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11}{28} - \frac{\sqrt{75}}{14} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11}{28} - \frac{5\sqrt{3}}{14} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11}{28} - \frac{15}{28} = -\frac{4}{28} = -\frac{1}{7}$

$B'D^2 = 64 + 49 - 112 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = 113 + 16 = 129$

$B'D = \sqrt{129}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle ACD = 60^\circ$

(2) $l$の最小値は$\sqrt{129}$