図において、Oは原点、AとBはそれぞれy軸とx軸上の点である。Pは点A(0,3)を通り、傾きが $\frac{5}{6}$ の直線上にある点である。三角形POBの面積は三角形POAの面積の4倍である。点Bの座標は(9,0)である。点Pの座標を求めよ。ただし、点Pのx座標は正の数とする。

1. 問題の内容

図において、Oは原点、AとBはそれぞれy軸とx軸上の点である。Pは点A(0,3)を通り、傾きが $\frac{5}{6}$ の直線上にある点である。三角形POBの面積は三角形POAの面積の4倍である。点Bの座標は(9,0)である。点Pの座標を求めよ。ただし、点Pのx座標は正の数とする。

2. 解き方の手順

まず、点Pの座標を $(x, y)$ とおく。

点Pは傾き $\frac{5}{6}$ の直線上にあるので、その直線の方程式は、$y = \frac{5}{6}x + b$ と表せる。

点A(0,3)を通るので、この式に代入すると $3 = \frac{5}{6}(0) + b$ となり、$b = 3$ が求まる。

したがって、点Pを通る直線の方程式は、$y = \frac{5}{6}x + 3$ である。

点Pはこの直線上にあるので、点Pの座標 $(x, y)$ はこの式を満たす。

三角形POAの面積は、底辺OAの長さが3、高さが点Pのx座標であるxなので、面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times x = \frac{3}{2}x$ となる。

三角形POBの面積は、底辺OBの長さが9、高さが点Pのy座標であるyなので、面積は $\frac{1}{2} \times 9 \times y = \frac{9}{2}y$ となる。

三角形POBの面積は三角形POAの面積の4倍なので、$\frac{9}{2}y = 4 \times \frac{3}{2}x$ が成り立つ。

整理すると、$\frac{9}{2}y = 6x$ より、$y = \frac{12}{9}x = \frac{4}{3}x$ となる。

点Pの座標 $(x, y)$ は、$y = \frac{5}{6}x + 3$ と $y = \frac{4}{3}x$ の両方を満たすので、連立方程式を解く。

$\frac{5}{6}x + 3 = \frac{4}{3}x$

$3 = \frac{4}{3}x - \frac{5}{6}x$

$3 = \frac{8}{6}x - \frac{5}{6}x$

$3 = \frac{3}{6}x$

$3 = \frac{1}{2}x$

$x = 6$

$y = \frac{4}{3}x = \frac{4}{3}(6) = 8$

したがって、点Pの座標は(6,8)である。

3. 最終的な答え

点Pの座標は(6, 8)である。