与えられた三角関数の問題を解き、解答群から適切な答えを選択する問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。 (1) 三角形の面積を求める問題 (2) 三角関数の値を計算する問題 (3) $\tan \theta$ の値から $\sin \theta$ の値を求める問題 (4) 三角関数の式を簡単にする問題 (5) 三角関数の値を計算する問題

1. 問題の内容

与えられた三角関数の問題を解き、解答群から適切な答えを選択する問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。

(1) 三角形の面積を求める問題

(2) 三角関数の値を計算する問題

(3) $\tan \theta$ の値から $\sin \theta$ の値を求める問題

(4) 三角関数の式を簡単にする問題

(5) 三角関数の値を計算する問題

2. 解き方の手順

(1) 三角形の面積：

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ で計算できます。ここでは、$a = BC = 2\sqrt{3}$、$b = AB = 6$、$\angle ABC = 30^{\circ}$ なので、

$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$.

したがって、答えはイです。

(2) 三角関数の値の計算：

$\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\cos^2 150^{\circ} = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$。

$\sin 150^{\circ} = \frac{1}{2}$ なので、$\sin^2 150^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。

$\cos^2 150^{\circ} + \sin^2 150^{\circ} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.

したがって、答えはエです。

(3) $\tan \theta$ から $\sin \theta$ を求める：

$\tan \theta = -\frac{1}{5}$ であり、$90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$ より、$\theta$ は第2象限の角である。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であり、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いる。

$\cos \theta = -\frac{5}{\sqrt{26}}$、$sin \theta = \frac{1}{\sqrt{26}}$より、

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

したがって、答えはイです。

(4) 三角関数の式の簡略化：

$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$

$\sin(90^{\circ} + \theta) = \cos \theta$

$\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$

$\sin(90^{\circ} - \theta) + \sin(90^{\circ} + \theta) + 2\cos(180^{\circ} - \theta) = \cos \theta + \cos \theta + 2(-\cos \theta) = 2\cos \theta - 2\cos \theta = 0$.

したがって、答えはウです。

(5) 三角関数の値の計算：

$\sin 70^{\circ} = \cos(90^{\circ}-70^{\circ}) = \cos 20^{\circ}$

$\cos 130^{\circ} = \cos(180^{\circ}-50^{\circ}) = -\cos 50^{\circ}$

$\sin 40^{\circ} = \sin 40^{\circ}$

$\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 160^{\circ} = \cos(180^{\circ}-20^{\circ}) = -\cos 20^{\circ}$

$\sin 70^{\circ} + \cos 130^{\circ} + \sin 40^{\circ} + \cos 150^{\circ} + \cos 160^{\circ} = \cos 20^{\circ} - \cos 50^{\circ} + \sin 40^{\circ} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos 20^{\circ} = - \cos 50^{\circ} + \sin 40^{\circ} - \frac{\sqrt{3}}{2} = - \sin 40^{\circ} + \sin 40^{\circ} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

したがって、答えはオです。

3. 最終的な答え

1: イ

2: エ

3: イ

4: ウ

5: オ