半径6cmの円に内接する正三角形の面積は、同じ半径6cmの円に内接する正六角形の面積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

半径6cmの円に内接する正三角形の面積は、同じ半径6cmの円に内接する正六角形の面積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円に内接する正三角形の一辺の長さを求める。

正三角形の頂点は円周上にあり、正三角形の中心は円の中心と一致する。円の中心から各頂点に向かう線は、正三角形を3つの合同な二等辺三角形に分割する。各二等辺三角形の中心角は $360^\circ / 3 = 120^\circ$ である。二等辺三角形の等しい辺の長さは円の半径 $r=6$ cmである。

正弦定理を用いると、正三角形の一辺の長さ $a$ は

$\frac{a}{\sin 120^\circ} = 2r$

$a = 2r \sin 120^\circ = 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ cm

(2) 正三角形の面積を求める。

正三角形の面積 $S_3$ は

$S_3 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (6\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 \cdot 3 = 27\sqrt{3}$ 平方センチメートル

(3) 円に内接する正六角形の面積を求める。

正六角形は6つの合同な正三角形から構成される。各正三角形の一辺の長さは円の半径に等しい。すなわち、正六角形を構成する正三角形の一辺の長さは $r = 6$ cmである。正六角形の面積 $S_6$ は、正三角形の面積の6倍なので、

$S_6 = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 54\sqrt{3}$ 平方センチメートル

(4) 正三角形の面積が正六角形の面積の何倍かを求める。

$\frac{S_3}{S_6} = \frac{27\sqrt{3}}{54\sqrt{3}} = \frac{27}{54} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

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