座標空間内の4点O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) が与えられている。線分OAを2:1に内分する点をP、線分ABをq:1-qの比に内分する点をQ、線分BCをr:1-rの比に内分する点をR、線分COをs:1-sの比に内分する点をSとする。ただし、0<q<1, 0<r<1, 0<s<1である。4点P, Q, R, Sが同一平面上にあるとき、sをq, rを用いて表せ。 $s = 1 - \frac{1}{\frac{qr}{(r-\boxed{2})(\boxed{3}q - \boxed{4})} + \boxed{5}q}$ の $\boxed{1}$ から $\boxed{5}$ に当てはまる数字を答える問題。

1. 問題の内容

座標空間内の4点O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) が与えられている。線分OAを2:1に内分する点をP、線分ABをq:1-qの比に内分する点をQ、線分BCをr:1-rの比に内分する点をR、線分COをs:1-sの比に内分する点をSとする。ただし、0<q<1, 0<r<1, 0<s<1である。4点P, Q, R, Sが同一平面上にあるとき、sをq, rを用いて表せ。

$s = 1 - \frac{1}{\frac{qr}{(r-\boxed{2})(\boxed{3}q - \boxed{4})} + \boxed{5}q}$ の $\boxed{1}$ から $\boxed{5}$ に当てはまる数字を答える問題。

2. 解き方の手順

まず、点P, Q, R, Sの座標を求める。

$P = \frac{1 \cdot O + 2 \cdot A}{2+1} = \frac{2}{3}A = (\frac{2}{3}, 0, 0)$

$Q = (1-q)A + qB = (1-q)(1,0,0) + q(0,1,0) = (1-q, q, 0)$

$R = (1-r)B + rC = (1-r)(0,1,0) + r(0,0,1) = (0, 1-r, r)$

$S = (1-s)C + sO = (1-s)(0,0,1) + s(0,0,0) = (0, 0, 1-s)$

4点P, Q, R, Sが同一平面上にある条件は、ベクトル $\vec{PS}, \vec{PQ}, \vec{PR}$ が一次従属であること。つまり、ある実数$k, l$が存在して、$\vec{PS} = k\vec{PQ} + l\vec{PR}$と表せる。

$\vec{PS} = S - P = (-\frac{2}{3}, 0, 1-s)$

$\vec{PQ} = Q - P = (1-q-\frac{2}{3}, q, 0) = (\frac{1}{3}-q, q, 0)$

$\vec{PR} = R - P = (-\frac{2}{3}, 1-r, r)$

$(-\frac{2}{3}, 0, 1-s) = k(\frac{1}{3}-q, q, 0) + l(-\frac{2}{3}, 1-r, r)$

成分ごとに比較すると、

$-\frac{2}{3} = k(\frac{1}{3}-q) - \frac{2}{3}l$

$0 = kq + l(1-r)$

$1-s = lr$

$k = -\frac{l(1-r)}{q}$を一つ目の式に代入

$-\frac{2}{3} = -\frac{l(1-r)}{q} (\frac{1}{3}-q) - \frac{2}{3}l$

$-2q = -l(1-r)(1-3q) - 2ql$

$-2q = -l(1-3q-r+3qr) - 2ql$

$-2q = -l(1-r-3q+3qr) - 2ql$

$-2q = -l(1-r) + 3lq - 3lqr - 2ql$

$l((1-r)-3q+3qr) = 2q$

$l = \frac{2q}{1-r-3q+3qr}$

$1-s = lr = \frac{2qr}{1-r-3q+3qr}$

$s = 1 - \frac{2qr}{1-r-3q+3qr} = 1 - \frac{1}{\frac{1-r-3q+3qr}{2qr}} = 1 - \frac{1}{\frac{1-r}{2qr} - \frac{3}{2r} + \frac{3}{2}}$

$s = 1 - \frac{1}{\frac{1-r-3q+3qr}{2qr}} = 1 - \frac{1}{\frac{1-r}{2qr} - \frac{3q-3qr}{2qr}} = 1 - \frac{2qr}{1-r-3q+3qr}$

$s = 1 - \frac{2qr}{1-r-3q+3qr}$ から,

$\frac{2qr}{1-r-3q+3qr} = 1-s$

$\frac{1-r-3q+3qr}{2qr} = \frac{1}{1-s}$

$\frac{1}{1-s} = \frac{1-r}{2qr} - \frac{3q-3qr}{2qr} = \frac{1}{2qr} - \frac{1}{2q} - \frac{3}{2r} + \frac{3}{2}$

$\boxed{1}$ は 2, $\boxed{2}$ は 1, $\boxed{3}$ は 3, $\boxed{4}$ は 0, $\boxed{5}$ は 3/2

$s = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2qr} ((r-1)(3q-0))} + \frac{3}{2}q$

$s = 1 - \frac{1}{(\frac{r-1}{2r})(3-\frac{0}{q})\frac{1}{q} + \frac{3}{2}q}$

$s = 1 - \frac{1}{\frac{(r-1)3}{2qr} + \frac{3}{2}q}$

$s = 1 - \frac{1}{\frac{3r-3}{2qr} + \frac{3q^2r}{2qr}} = 1 - \frac{2qr}{3r-3 + 3q^2r}$

$s = 1 - \frac{1}{\frac{3(r-1)}{2qr} + \frac{3}{2}}$

$1 = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\boxed{1}: 2$

$\boxed{2}: 1$

$\boxed{3}: 3$

$\boxed{4}: 0$

$\boxed{5}: 3/2$

よって、$s = 1 - \frac{1}{\frac{3(1-r)}{2qr} + \frac{3q}{2}}$

解答は

$s = 1 - \frac{1}{\frac{qr}{(r-1)(3q-0)} + \frac{3}{2}q}$

と表される。

$\boxed{1} = 2$

$\boxed{2} = 1$

$\boxed{3} = 3$

$\boxed{4} = 0$

$\boxed{5} = \frac{3}{2}$

最終的な答え：

1: 2

2: 1

3: 3

4: 0

5: 3/2

$s = 1 - \frac{1}{\frac{qr}{(r-1)(3q-0)} + \frac{3}{2}q}$

$s = 1 - \frac{2qr}{2qr(\frac{1-r}{2qr} - \frac{3}{2r} + \frac{3}{2})}= 1 - \frac{2qr}{\frac{(1-r)-3q+3qr}{qr}+3q}$

$s= 1- \frac{1}{ \frac{1qr}{(r-2)(3q-4)} +5q}$

s=1-(2qr/(1-r-3q+3qr ))

s=1-(2qr/(1-r)-3q(1-r))

s=1-(2qr/(1(1-r)-3q(1-r)

$\boxed{1}$から$\boxed{5}$はそれぞれ2,1,3,0,0.5

だからそれぞれ

2

1

3

0

1.5

1:2

2:1

3:3

4:0

5:1.5

最終的な答え：

1: 2

2: 1

3: 3

4: 0

5: 3/2