楕円球 $Q = \{(x, y, z) | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1 \}$ (ただし $a > b > c > 0$) の体積 $V$ の公式の導出過程を説明する文章中の空欄を埋める問題です。特に、積分領域 $D_1$ の概形（$a=2, b=1$ のとき）、ヤコビアン $J$、および体積 $V$ の公式を求めることが要求されています。

1. 問題の内容

楕円球 $Q = \{(x, y, z) | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1 \}$ (ただし $a > b > c > 0$) の体積 $V$ の公式の導出過程を説明する文章中の空欄を埋める問題です。特に、積分領域 $D_1$ の概形（$a=2, b=1$ のとき）、ヤコビアン $J$、および体積 $V$ の公式を求めることが要求されています。

2. 解き方の手順

(フ) 積分領域 $D_1$ の概形 ($a=2, b=1$ のとき):

$D_1$ は、$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1$ を満たす $x, y \ge 0$ の領域です。$a=2, b=1$ のとき、$\frac{x^2}{4} + y^2 \le 1$ となり、第一象限における楕円です。$x=2\cos{\theta}$, $y=\sin{\theta}$とおくと，$0 \le \theta \le \pi/2$となります。

(へ) ヤコビアン $J$ の計算:

座標変換 $x = a r \cos{\theta}$, $y = b r \sin{\theta}$ を考えます。ヤコビアン $J$ は以下の式で計算されます。

$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a \cos{\theta} & -a r \sin{\theta} \\ b \sin{\theta} & b r \cos{\theta} \end{vmatrix} = a b r \cos^2{\theta} + a b r \sin^2{\theta} = a b r$

したがって、$J = abr$ です。

(ホ) 体積 $V$ の公式:

与えられた積分を計算します。

$V = 8 \int_{r=0}^{1} \int_{\theta=0}^{\pi/2} c \sqrt{1-r^2} |J| d\theta dr = 8 \int_{r=0}^{1} \int_{\theta=0}^{\pi/2} c \sqrt{1-r^2} abr d\theta dr = 8abc \int_{r=0}^{1} r \sqrt{1-r^2} (\int_{\theta=0}^{\pi/2} d\theta) dr = 8abc \int_{r=0}^{1} r \sqrt{1-r^2} \frac{\pi}{2} dr = 4\pi abc \int_{r=0}^{1} r \sqrt{1-r^2} dr$

ここで、$t = 1-r^2$ とおくと、$dt = -2r dr$ となり、$r dr = -\frac{1}{2} dt$ です。$r=0$ のとき $t=1$, $r=1$ のとき $t=0$ です。

$\int_{r=0}^{1} r \sqrt{1-r^2} dr = \int_{1}^{0} \sqrt{t} (-\frac{1}{2}) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{t} dt = \frac{1}{2} [\frac{2}{3} t^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

したがって、$V = 4\pi abc \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \pi abc$

3. 最終的な答え

(フ) 積分領域 $D_1$ の概形: $\frac{x^2}{4} + y^2 \le 1$ かつ $x, y \ge 0$ を満たす楕円領域。

(へ) ヤコビアン $J$: $J = abr$

(ホ) 体積 $V$ の公式: $V = \frac{4}{3} \pi abc$