座標空間内に4点O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)があります。線分OAを2:1に内分する点をP、線分ABをq:1-qの比に内分する点をQ、線分BCをr:1-rの比に内分する点をR、線分COをs:1-sの比に内分する点をSとします。ただし、0<q<1, 0<r<1, 0<s<1です。4点P,Q,R,Sが同一平面上にあるとき、sをq,rを用いて表し、$s=1- \frac{qr}{ (r - \boxed{2} )(\boxed{3} q - \boxed{4} ) + \boxed{5} q}$を埋めなさい。

1. 問題の内容

座標空間内に4点O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)があります。線分OAを2:1に内分する点をP、線分ABをq:1-qの比に内分する点をQ、線分BCをr:1-rの比に内分する点をR、線分COをs:1-sの比に内分する点をSとします。ただし、0<q<1, 0<r<1, 0<s<1です。4点P,Q,R,Sが同一平面上にあるとき、sをq,rを用いて表し、$s=1- \frac{qr}{ (r - \boxed{2} )(\boxed{3} q - \boxed{4} ) + \boxed{5} q}$を埋めなさい。

2. 解き方の手順

まず、各点P,Q,R,Sの座標を求めます。

PはOAを2:1に内分するので、$\vec{OP} = \frac{2}{3} \vec{OA} = \frac{2}{3} (1,0,0) = (\frac{2}{3}, 0, 0)$

QはABをq:1-qに内分するので、$\vec{OQ} = (1-q) \vec{OA} + q \vec{OB} = (1-q)(1,0,0) + q(0,1,0) = (1-q, q, 0)$

RはBCをr:1-rに内分するので、$\vec{OR} = (1-r) \vec{OB} + r \vec{OC} = (1-r)(0,1,0) + r(0,0,1) = (0, 1-r, r)$

SはCOをs:1-sに内分するので、$\vec{OS} = (1-s) \vec{OC} = (1-s)(0,0,1) = (0, 0, 1-s)$

4点P,Q,R,Sが同一平面上にある条件は、ベクトル$\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}$が同一平面上にあることです。これは、これらのベクトルで作られる行列式が0になることと同値です。

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (1-q-\frac{2}{3}, q, 0) = (\frac{1}{3} - q, q, 0)$

$\vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP} = (0-\frac{2}{3}, 1-r, r) = (-\frac{2}{3}, 1-r, r)$

$\vec{PS} = \vec{OS} - \vec{OP} = (0-\frac{2}{3}, 0, 1-s) = (-\frac{2}{3}, 0, 1-s)$

$\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}$が同一平面上にある条件は、

$\begin{vmatrix} \frac{1}{3} - q & q & 0 \\ -\frac{2}{3} & 1-r & r \\ -\frac{2}{3} & 0 & 1-s \end{vmatrix} = 0$

$(\frac{1}{3}-q)((1-r)(1-s) - 0) - q(-\frac{2}{3}(1-s) + \frac{2}{3}r) + 0 = 0$

$(\frac{1}{3}-q)(1-r-s+rs) - q(-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}s + \frac{2}{3}r) = 0$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3}r - \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}rs - q + qr + qs - qrs + \frac{2}{3}q - \frac{2}{3}qs - \frac{2}{3}qr = 0$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3}r - \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}rs - \frac{1}{3}q + \frac{1}{3}qr + \frac{1}{3}qs - qrs = 0$

$1 - r - s + rs - q + qr + qs - 3qrs = 0$

$s(rs + q - 1) = 1 - r - q + qr$

$s = \frac{1 - r - q + qr}{1 - q - rs}$

$1 - s = \frac{1 - q - rs - (1 - r - q + qr)}{1 - q - rs} = \frac{r - rs - qr}{1 - q - rs} = \frac{r(1 - s - q)}{1 - q - rs}$

問題文より、

$s=1- \frac{qr}{(r-\boxed{2})( \boxed{3} q - \boxed{4}) + \boxed{5} q}$を変形すると

$1-s = \frac{qr}{(r-2)(3q-4)+5q} = \frac{qr}{3qr -4r - 6q + 8 + 5q} = \frac{qr}{3qr -4r - q + 8} = \frac{qr}{(3r-1)q -4r + 8}$

$1 - r - s + rs - q + qr + qs - 3qrs = 0$ より、$1 - s = r - q - rs + qr$

$s = 1 - \frac{3qr}{-q - 4r + 8 + 3qr} = 1 - \frac{qr}{3qr - q - 4r + 8}$は異なる形なので、$\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}$が同一平面上にある条件を見直します。

$(\frac{1}{3}-q)((1-r)(1-s) - 0) - q(-\frac{2}{3}(1-s) + \frac{2}{3}r) = 0$

$(\frac{1-3q}{3}) (1-r-s+rs) = q \frac{2}{3}(1-s - r)$

$(1-3q) (1-r-s+rs) = 2q (1-s - r)$

$(1-3q) (1-r) - s (1-3q)(1-r) = 2q (1 - r) - 2qs$

$s (2q - (1-3q)(1-r)) = 2q(1-r) - (1-3q)(1-r)$

$s = \frac{(2q - (1-3q))(1-r)}{(2q - (1-3q)(1-r))} = \frac{(5q-1)(1-r)}{2q - (1-3q)(1-r)} = \frac{ (5q-1)(1-r) }{2q - (1-r-3q + 3qr)} = \frac{ (5q-1)(1-r) }{5q - 1 +r - 3qr} = 1 - \frac{3qr -r} {- 1 + 5q + r - 3qr}$

3. 最終的な答え

1, 2, 3, 4, 5は順番に、

1

3

-1

r

2