四面体 $ABCD$ において、$AB=6$, $BC=\sqrt{13}$, $AD=BD=CD=CA=5$ である。 (1) 三角形 $ABC$ の面積を求めよ。 (2) 四面体 $ABCD$ の体積を求めよ。

1. 問題の内容

四面体 $ABCD$ において、$AB=6$, $BC=\sqrt{13}$, $AD=BD=CD=CA=5$ である。

(1) 三角形 $ABC$ の面積を求めよ。

(2) 四面体 $ABCD$ の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形 $ABC$ の面積を求める。

ヘロンの公式を利用する。

$s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{6 + \sqrt{13} + 5}{2} = \frac{11 + \sqrt{13}}{2}$

三角形 $ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)}$

$= \sqrt{\frac{11 + \sqrt{13}}{2} \cdot (\frac{11 + \sqrt{13}}{2} - 6) \cdot (\frac{11 + \sqrt{13}}{2} - \sqrt{13}) \cdot (\frac{11 + \sqrt{13}}{2} - 5)}$

$= \sqrt{\frac{11 + \sqrt{13}}{2} \cdot (\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}) \cdot (\frac{11 - \sqrt{13}}{2}) \cdot (\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}$

$= \sqrt{\frac{1}{16} (121 - 13) (-1 + 13)}$

$= \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 108 \cdot 12} = \sqrt{\frac{1296}{16}} = \sqrt{81} = 9$

(2) 四面体 $ABCD$ の体積を求める。

三角形 $ACD$ は、$AC = CD = DA = 5$ なので、正三角形である。

正三角形 $ACD$ の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4}$

点 $D$ から三角形 $ABC$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、$AH=BH=CH$ となるため、$H$ は三角形 $ABC$ の外心である。

三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると、

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot \sqrt{13} \cdot 5}{4 \cdot 9} = \frac{30\sqrt{13}}{36} = \frac{5\sqrt{13}}{6}$

$DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{5\sqrt{13}}{6})^2} = \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 13}{36}} = \sqrt{\frac{900 - 325}{36}} = \sqrt{\frac{575}{36}} = \frac{5\sqrt{23}}{6}$

四面体 $ABCD$ の体積 $V$ は、

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot DH = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{5\sqrt{23}}{6} = \frac{45\sqrt{23}}{18} = \frac{5\sqrt{23}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形 $ABC$ の面積：9

(2) 四面体 $ABCD$ の体積：$\frac{5\sqrt{23}}{2}$