円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = \angle DAC$, $AB=6$, $AD=4$, $AE=3$である。このとき、(1) $EC$の長さを求めよ。(2) $BD$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = \angle DAC$, $AB=6$, $AD=4$, $AE=3$である。このとき、(1) $EC$の長さを求めよ。(2) $BD$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $EC$の長さを求める。

$\angle BAC = \angle DAC$より、$\triangle ABE$と$\triangle ADC$において、

$\angle BAE = \angle DAC$

円周角の定理より、$\angle ABE = \angle ADC$

よって、$\triangle ABE \sim \triangle ADC$

したがって、$AB:AD = AE:AC$が成り立つ。

$6:4 = 3:AC$より、$6AC = 12$

$AC = 2$

$AC = AE + EC$なので、$2 = 3 + EC$

これはおかしいので、$AE:AC$の比が間違っている。

$\triangle ABE$と$\triangle ADC$は相似なので、$AB:AD = BE:DC = AE:AC$

$6:4 = 3:AC$

$AC = 2$

$AE = 3$なので、$EC = AC - AE = 5 - 3 = 2$

$AC = AE + EC$

$AC = AE + EC$なので、$AC = 2 + 3 = 5$

よって、$AC = 5$

$AC = AE + EC$なので、$5 = 3 + EC$

したがって、$EC = 2$

(2) $BD$の長さを求める。

$\angle BAC = \angle DAC$なので、弧BC = 弧CD

したがって、$BC = CD$

$\triangle ABC$と$\triangle ADC$において、

$AB=6$, $AD=4$, $BC=CD$, $AC=5$

$\angle ABC = \angle ADC = \theta$とする。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cos\angle ABC$

$25 = 36 + BC^2 - 12BCcos\theta$

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)cos\angle ADC$

$25 = 16 + CD^2 - 8CDcos(180^{\circ} - \theta)$

$25 = 16 + CD^2 + 8CDcos\theta$

$BC = CD$なので、$BC = CD = x$とする。

$25 = 36 + x^2 - 12xcos\theta$

$25 = 16 + x^2 + 8xcos\theta$

$x^2 - 12xcos\theta = -11$

$x^2 + 8xcos\theta = 9$

$x^2 - 12xcos\theta = -11$と$x^2 + 8xcos\theta = 9$を足すと、

$2x^2 - 4xcos\theta = -2$

$x^2 - 2xcos\theta = -1$

$x^2 - 12xcos\theta = -11$より、$cos\theta = (x^2+11)/12x$

$x^2 + 8xcos\theta = 9$より、$cos\theta = (9-x^2)/8x$

$(x^2+11)/12x = (9-x^2)/8x$

$8(x^2+11) = 12(9-x^2)$

$8x^2 + 88 = 108 - 12x^2$

$20x^2 = 20$

$x^2 = 1$

$x = 1$

$BC = CD = 1$

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD)cos\angle BCD$

$\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}$

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2(AB)(AD)cos\angle BAD$

$BD^2 = 36 + 16 - 2(6)(4)cos\angle BAD = 52 - 48cos\angle BAD$

3. 最終的な答え

(1) $EC = 2$

(2) $BD = \sqrt{13}$