$\triangle ABC$ において、$AB = AC$, $BC = 1$, $\angle ABC = 72^\circ$ とする。$\angle ABC$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $AD$ の長さおよび $AC$ の長さを求めよ。 (2) $\cos 72^\circ$ の値を求めよ。 (3) $\triangle ABD$ の内接円の半径を $r$, $\triangle CBD$ の内接円の半径を $s$ とするとき、$\frac{r}{s}$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = AC$, $BC = 1$, $\angle ABC = 72^\circ$ とする。$\angle ABC$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $AD$ の長さおよび $AC$ の長さを求めよ。

(2) $\cos 72^\circ$ の値を求めよ。

(3) $\triangle ABD$ の内接円の半径を $r$, $\triangle CBD$ の内接円の半径を $s$ とするとき、$\frac{r}{s}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\triangle ABC$ は二等辺三角形であるから、$\angle BAC = 180^\circ - 2 \times 72^\circ = 36^\circ$ である。また、BDは$\angle ABC$の二等分線であるから、$\angle ABD = \angle DBC = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$である。

$\triangle ABD$ において、$\angle ADB = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ$ である。

$\triangle BCD$ において、$\angle BCD = \angle BCA = 72^\circ$, $\angle DBC = 36^\circ$ であるから、$\angle BDC = 180^\circ - 72^\circ - 36^\circ = 72^\circ$ である。

したがって、$\triangle BCD$ は二等辺三角形であり、$BD = BC = 1$ である。

$\triangle ABD$ において、$\angle BAD = \angle ABD = 36^\circ$ であるから、$\triangle ABD$ も二等辺三角形であり、$AD = BD = 1$ である。

$\triangle ABC$ と $\triangle BCD$ は相似である。なぜなら、$\angle ABC = \angle BCD = 72^\circ$, $\angle BAC = \angle CBD = 36^\circ$ であるから。

したがって、$AB:BC = BC:CD$ が成り立つ。$AB=AC$, $BC=1$, $CD=AC-AD = AC-1$ であるから、$AC:1 = 1:(AC-1)$ となる。

よって、$AC(AC-1) = 1$ より、$AC^2 - AC - 1 = 0$ である。

$AC = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ となるが、$AC > 0$ であるから、$AC = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ である。

(2)

$\cos 72^\circ = \cos \angle BCA = \frac{BC^2+AC^2 - AB^2}{2 BC \cdot AC} = \frac{1+AC^2-AC^2}{2AC} = \frac{1}{2AC} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{5}} = \frac{1-\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{1-\sqrt{5}}{1-5} = \frac{1-\sqrt{5}}{-4} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(3)

$\triangle ABD$ と $\triangle CBD$ において、$AD = BD = BC = 1$, $AB = AC = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。$\angle ABD = \angle DBC = 36^\circ$, $\angle ADB = 108^\circ$, $\angle BDC = \angle BCD = 72^\circ$である。

$\triangle ABD$ の面積を$S_1$、$\triangle CBD$の面積を$S_2$とする。

$S_1 = \frac{1}{2}AD \cdot BD \cdot \sin(108^\circ) = \frac{1}{2} \sin(108^\circ) = \frac{1}{2} \sin(72^\circ) = \frac{1}{2} \sqrt{1-\cos^2 72^\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{1-(\frac{\sqrt{5}-1}{4})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}$.

$S_2 = \frac{1}{2}BD \cdot BC \cdot \sin(36^\circ) = \frac{1}{2}\sin(36^\circ) = \frac{1}{2} \sqrt{1-\cos^2 36^\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}+1}{4})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{5+2\sqrt{5}+1}{16}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$

$\triangle ABD$ の内接円の半径を $r$, $\triangle CBD$ の内接円の半径を $s$ とすると、$S_1 = \frac{1}{2}r(AD+BD+AB)$ および $S_2 = \frac{1}{2}s(BD+BC+CD)$ である。

$CD=AC-AD=\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

$S_1 = \frac{1}{2}r(1+1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}) = \frac{1}{2}r(\frac{5+\sqrt{5}}{2})$.

$S_2 = \frac{1}{2}s(1+1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}) = \frac{1}{2}s(\frac{3+\sqrt{5}}{2})$.

$\frac{r}{s} = \frac{S_1 / \frac{5+\sqrt{5}}{4}}{S_2 / \frac{3+\sqrt{5}}{4}} = \frac{S_1(3+\sqrt{5})}{S_2(5+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{10-2\sqrt{5}}} \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{(10+2\sqrt{5})^2}{100-20}} \cdot \frac{(3+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}{25-5} = \sqrt{\frac{100+40\sqrt{5}+20}{80}} \cdot \frac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5}{20} = \sqrt{\frac{120+40\sqrt{5}}{80}} \cdot \frac{10+2\sqrt{5}}{20} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \cdot \frac{5+\sqrt{5}}{10} = \frac{5+\sqrt{5}}{10}\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$.

$\angle CBD=36^\circ$, $\angle BCD=72^\circ$, $\angle BDC=72^\circ$, $BC=1$, $BD=1$, $CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. $AB=AC=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

$S_1=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\angle A=\frac{1}{2}AD\cdot DB\sin\angle ADB=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin 108^\circ=\frac{1}{2}\sin 72^\circ$. $S_2=\frac{1}{2}BC\cdot BD\sin\angle CBD=\frac{1}{2}1\cdot 1\sin 36^\circ=\frac{1}{2}\sin 36^\circ$.

$s=\frac{2S_2}{BC+BD+CD}$, $r=\frac{2S_1}{AD+BD+AB}$, $\frac{r}{s}=\frac{S_1}{S_2}\cdot \frac{BC+BD+CD}{AD+BD+AB} =\frac{\sin 72^\circ}{\sin 36^\circ}\frac{1+1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1+1+\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{2\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{\sin 36^\circ}\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}=2\cos 36^\circ \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}=2\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{4}\cdot \frac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\frac{(3+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}{20}=\frac{(\sqrt{5}+1)(10+2\sqrt{5})}{40}=\frac{10\sqrt{5}+10+10+2\sqrt{5}}{40}=\frac{20+12\sqrt{5}}{40}=\frac{5+3\sqrt{5}}{10}$.

3. 最終的な答え

(1) $AD = 1$, $AC = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

(3) $\frac{r}{s} = \frac{5+3\sqrt{5}}{10}$