四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABCの重心をGとし、線分DGを1:4に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABCの重心をGとし、線分DGを1:4に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。重心は各頂点の位置ベクトルの平均であるから、

$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$

次に、線分DGを1:4に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{g}$と$\vec{d}$を用いて表す。内分点の公式より、

$$\vec{p} = \frac{4\vec{g} + 1\vec{d}}{1+4} = \frac{4\vec{g} + \vec{d}}{5}$$

$\vec{g}$の式を代入する。

$$\vec{p} = \frac{4 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} + \vec{d}}{5} = \frac{\frac{4}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \vec{d}}{5} = \frac{4(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + 3\vec{d}}{15}$$

したがって、

$$\vec{p} = \frac{4\vec{a} + 4\vec{b} + 4\vec{c} + 3\vec{d}}{15} = \frac{4}{15}\vec{a} + \frac{4}{15}\vec{b} + \frac{4}{15}\vec{c} + \frac{3}{15}\vec{d}$$

$$\vec{p} = \frac{4}{15}\vec{a} + \frac{4}{15}\vec{b} + \frac{4}{15}\vec{c} + \frac{1}{5}\vec{d}$$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{4}{15}\vec{a} + \frac{4}{15}\vec{b} + \frac{4}{15}\vec{c} + \frac{1}{5}\vec{d}$

選択肢2が正解。