四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABDの重心をGとし、線分CGを2:5に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形ABDの重心をGとし、線分CGを2:5に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求めます。

重心Gの位置ベクトルは、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$

次に、線分CGを2:5に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求めます。

内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{5\vec{c} + 2\vec{g}}{2+5} = \frac{5\vec{c} + 2\vec{g}}{7}$

$\vec{g}$を代入して、

$\vec{p} = \frac{5\vec{c} + 2(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3})}{7}$

$\vec{p} = \frac{5\vec{c} + \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}}{7}$

$\vec{p} = \frac{1}{7} (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + 5\vec{c} + \frac{2}{3}\vec{d})$

$\vec{p} = \frac{2}{21}\vec{a} + \frac{2}{21}\vec{b} + \frac{5}{7}\vec{c} + \frac{2}{21}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{2}{21}\vec{a} + \frac{2}{21}\vec{b} + \frac{5}{7}\vec{c} + \frac{2}{21}\vec{d}$