四面体ABCDにおいて、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ とします。三角形BCDの重心をGとし、線分AGを4:3に内分する点をPとします。このとき、$\vec{p}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ とします。三角形BCDの重心をGとし、線分AGを4:3に内分する点をPとします。このとき、$\vec{p}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形BCDの重心Gの位置ベクトル $\vec{g}$ を求めます。

重心の位置ベクトルは、各頂点の位置ベクトルの平均なので、

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\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}

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次に、線分AGを4:3に内分する点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ を求めます。内分点の公式より、

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\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{g}}{4+3} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{g}}{7}

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$\vec{g}$ を代入して計算します。

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\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 4(\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3})}{7} = \frac{3\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b} + \frac{4}{3}\vec{c} + \frac{4}{3}\vec{d}}{7}

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分母を払います。

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\vec{p} = \frac{9\vec{a} + 4\vec{b} + 4\vec{c} + 4\vec{d}}{21} = \frac{9}{21}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b} + \frac{4}{21}\vec{c} + \frac{4}{21}\vec{d}

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3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b} + \frac{4}{21}\vec{c} + \frac{4}{21}\vec{d}$

したがって、選択肢3が正解です。