三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=4$, $CA=5$である。角BACとその外角の二等分線が、辺BCまたはその延長と交わる点をそれぞれE,Fとする。CEとEFの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=4$, $CA=5$である。角BACとその外角の二等分線が、辺BCまたはその延長と交わる点をそれぞれE,Fとする。CEとEFの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) CEの長さを求める。

角の二等分線の定理より、

$BE:EC = AB:AC$

$BE:EC = 7:5$

ここで、$BC=BE+EC=4$であるから、

$BE = \frac{7}{12} \times 4 = \frac{7}{3}$

$EC = \frac{5}{12} \times 4 = \frac{5}{3}$

したがって、$CE = \frac{5}{3}$

(2) EFの長さを求める。

外角の二等分線の定理より、

$BF:CF = AB:AC$

$BF:CF = 7:5$

ここで、$BF = BC+CF=4+CF$であるから、

$(4+CF):CF = 7:5$

$5(4+CF) = 7CF$

$20+5CF = 7CF$

$2CF = 20$

$CF = 10$

したがって、$EF = EC+CF = \frac{5}{3}+10 = \frac{5}{3} + \frac{30}{3} = \frac{35}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $CE = \frac{5}{3}$

(2) $EF = \frac{35}{3}$