$\triangle ABC$ において、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ であり、辺 $AB$ の長さが $2$ cm である。このとき、$\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ であり、辺 $AB$ の長さが $2$ cm である。このとき、$\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ であるから、$a:b:c = 7:5:3$ となる。

したがって、$a=7k, b=5k, c=3k$ とおくことができる。ここで、$c$ は辺 $AB$ の長さであるから、$c=2$ である。

よって、$3k=2$ より、$k = \frac{2}{3}$ である。

したがって、$a = 7k = \frac{14}{3}, b = 5k = \frac{10}{3}, c=2$ となる。

次に、余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(\frac{10}{3})^2 + 2^2 - (\frac{14}{3})^2}{2 \cdot \frac{10}{3} \cdot 2} = \frac{\frac{100}{9} + 4 - \frac{196}{9}}{\frac{40}{3}} = \frac{\frac{100+36-196}{9}}{\frac{40}{3}} = \frac{\frac{-60}{9}}{\frac{40}{3}} = \frac{-60}{9} \cdot \frac{3}{40} = \frac{-60}{120} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\cos A = -\frac{1}{2}$

次に、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、$\sin^2 A = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$A$ は三角形の内角であるから、$0 < A < \pi$ であるので、$\sin A > 0$ である。

したがって、$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{1}{2}$

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm$^2$

したがって、

セソ = -1

タ = 2

チ = 5

ツ = 3

テ = 3