四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形BCDの重心をGとし、線分AGを2:1に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。三角形BCDの重心をGとし、線分AGを2:1に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、三角形BCDの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求めます。重心の位置ベクトルは、頂点の位置ベクトルの平均で与えられるので、

$$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$$

次に、線分AGを2:1に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求めます。内分点の公式より、

$$\vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{g}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{g}}{3}$$

$\vec{g}$を代入すると、

$$\vec{p} = \frac{\vec{a} + 2 \cdot \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}}{3} = \frac{\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} + \frac{2}{3}\vec{d}}{3} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c} + \frac{2}{9}\vec{d}$$

したがって、

$$\vec{p} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{9} \vec{b} + \frac{2}{9} \vec{c} + \frac{2}{9} \vec{d}$$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{9} \vec{b} + \frac{2}{9} \vec{c} + \frac{2}{9} \vec{d}$

選択肢4が正解です。