四面体ABCDにおいて、頂点をそれぞれA($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$), D($\vec{d}$)とする。三角形ABDの重心をG($\vec{g}$)とし、線分CGを1:2に内分する点をP($\vec{p}$)とする。ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$で表す問題です。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、頂点をそれぞれA($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$), D($\vec{d}$)とする。三角形ABDの重心をG($\vec{g}$)とし、線分CGを1:2に内分する点をP($\vec{p}$)とする。ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDの重心Gのベクトル$\vec{g}$を求めます。

重心Gのベクトル$\vec{g}$は、各頂点の位置ベクトルの平均で与えられます。

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$

次に、線分CGを1:2に内分する点Pのベクトル$\vec{p}$を求めます。

内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{g}}{1+2} = \frac{2\vec{c} + \vec{g}}{3}$

$\vec{g}$に$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$を代入すると、

$\vec{p} = \frac{2\vec{c} + \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}}{3} = \frac{\frac{6\vec{c} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + 6\vec{c} + \vec{d}}{9}$

したがって、

$\vec{p} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{9}\vec{b} + \frac{6}{9}\vec{c} + \frac{1}{9}\vec{d} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{9}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} + \frac{1}{9}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{9}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} + \frac{1}{9}\vec{d}$

選択肢1が正解です。