平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを2:1に内分する点をP、対角線BDを1:3に内分する点をQ、対角線ACを5:1に内分する点をRとする。このとき、C, P, Q, Rのうち、一直線上にないものはどれか。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを2:1に内分する点をP、対角線BDを1:3に内分する点をQ、対角線ACを5:1に内分する点をRとする。このとき、C, P, Q, Rのうち、一直線上にないものはどれか。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a} = \vec{AB}$、$\vec{b} = \vec{AD}$と定める。

$\vec{AP} = \frac{2}{3} \vec{AB} = \frac{2}{3} \vec{a}$より

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{AQ} = \frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{3}{4} \vec{AD} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$

$\vec{AR} = \frac{5}{6} \vec{AC} = \frac{5}{6} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{5}{6} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b}$

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC} = \frac{2}{3} \vec{a} - (\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{1}{3} \vec{a} - \vec{b}$

$\vec{CQ} = \vec{AQ} - \vec{AC} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} - (\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$

$\vec{CR} = \vec{AR} - \vec{AC} = \frac{5}{6} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} - (\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}$

ここで$\vec{CP}$と$\vec{CQ}$が平行である条件を調べる。

$\vec{CP} = k \vec{CQ}$とすると

$-\frac{1}{3} \vec{a} - \vec{b} = k (-\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b})$

$-\frac{1}{3} = -\frac{3}{4} k$より$k = \frac{4}{9}$

$-1 = -\frac{1}{4} k$より$k = 4$

$k$の値が一致しないので$\vec{CP}$と$\vec{CQ}$は平行ではない。したがってC, P, Qは一直線上にない。

ここで$\vec{CQ}$と$\vec{CR}$が平行である条件を調べる。

$\vec{CQ} = k \vec{CR}$とすると

$-\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} = k (-\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b})$

$-\frac{3}{4} = -\frac{1}{6} k$より$k = \frac{9}{2}$

$-\frac{1}{4} = -\frac{1}{6} k$より$k = \frac{3}{2}$

$k$の値が一致しないので$\vec{CQ}$と$\vec{CR}$は平行ではない。したがってC, Q, Rは一直線上にない。

ここで$\vec{CP}$と$\vec{CR}$が平行である条件を調べる。

$\vec{CP} = k \vec{CR}$とすると

$-\frac{1}{3} \vec{a} - \vec{b} = k (-\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b})$

$-\frac{1}{3} = -\frac{1}{6} k$より$k = 2$

$-1 = -\frac{1}{6} k$より$k = 6$

$k$の値が一致しないので$\vec{CP}$と$\vec{CR}$は平行ではない。したがってC, P, Rは一直線上にない。

しかし、問題文は「一直線上にないものはどれか」と聞いているので、答えはC, P, Q, Rのいずれか一つである必要がある。

C, Q, Rが一直線上にあるかどうかを考えた。

$\vec{CR}=-\frac{1}{6}\vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}$

$\vec{QR} = \vec{AR} - \vec{AQ} = (\frac{5}{6} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b}) - (\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}) = (\frac{10}{12}-\frac{3}{12})\vec{a}+(\frac{10}{12}-\frac{9}{12})\vec{b} = \frac{7}{12}\vec{a} + \frac{1}{12}\vec{b}$

平行ではないので、一直線にはない。

C, P, Qが一直線上にあるかどうかを考えた。

$\vec{CP} = -\frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = (\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}) - \frac{2}{3}\vec{a} = (\frac{3}{12}-\frac{8}{12})\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} = -\frac{5}{12}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

平行ではないので、一直線にはない。

C, P, Rが一直線上にあるかどうかを考えた。

$\vec{CP} = -\frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{PR} = \vec{AR} - \vec{AP} = (\frac{5}{6}\vec{a}+\frac{5}{6}\vec{b}) - \frac{2}{3}\vec{a} = (\frac{5}{6}-\frac{4}{6})\vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b}$

平行ではないので、一直線にはない。

3. 最終的な答え

Q