平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をE、辺BCを2:3に内分する点をF、辺ADを2:1に外分する点をGとするとき、B, E, F, Gのうち一直線上にないものはどれか。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をE、辺BCを2:3に内分する点をF、辺ADを2:1に外分する点をGとするとき、B, E, F, Gのうち一直線上にないものはどれか。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて考える。

点Aを始点とする位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}=\vec{0}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。

平行四辺形の性質より、$\vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$が成り立つ。

点Eは線分ACを2:1に内分するので、

$\vec{e} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{a}}{2+1} = \frac{2}{3}\vec{c} = \frac{2}{3}(\vec{b}+\vec{d}) = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}$

点Fは線分BCを2:3に内分するので、

$\vec{f} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{2+3} = \frac{2}{5}\vec{c} + \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{2}{5}(\vec{b}+\vec{d}) + \frac{3}{5}\vec{b} = \vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d}$

点Gは線分ADを2:1に外分するので、

$\vec{g} = \frac{2\vec{d} - 1\vec{a}}{2-1} = 2\vec{d}$

点B, E, Fが一直線上にあるかを調べる。

$\vec{e} = (1-s)\vec{b} + s\vec{f}$となる実数$s$が存在するかを調べる。

$\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d} = (1-s)\vec{b} + s(\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d}) = (1-s+s)\vec{b} + \frac{2}{5}s\vec{d} = \vec{b} + \frac{2}{5}s\vec{d}$

$\frac{2}{3} = 1$および$\frac{2}{3} = \frac{2}{5}s$を満たす$s$は存在しないので、B, E, Fは一直線上にない。

点B, E, Gが一直線上にあるかを調べる。

$\vec{e} = (1-t)\vec{b} + t\vec{g}$となる実数$t$が存在するかを調べる。

$\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d} = (1-t)\vec{b} + t(2\vec{d}) = (1-t)\vec{b} + 2t\vec{d}$

$\frac{2}{3} = 1-t$および$\frac{2}{3} = 2t$を満たす$t$を求める。

$t = \frac{1}{3}$

$1-t = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

よって、$\vec{e} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}(2\vec{d}) = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}$

これは成り立つので、B, E, Gは一直線上にある。

点B, F, Gが一直線上にあるかを調べる。

$\vec{f} = (1-u)\vec{b} + u\vec{g}$となる実数$u$が存在するかを調べる。

$\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d} = (1-u)\vec{b} + u(2\vec{d}) = (1-u)\vec{b} + 2u\vec{d}$

$1 = 1-u$および$\frac{2}{5} = 2u$を満たす$u$を求める。

$u = 0$

$u = \frac{1}{5}$

よって、これを満たす$u$は存在しないので、B, F, Gは一直線上にない。

点E, F, Gが一直線上にあるかを調べる。

$\vec{f} = (1-v)\vec{e} + v\vec{g}$となる実数$v$が存在するかを調べる。

$\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d} = (1-v)(\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}) + v(2\vec{d}) = \frac{2}{3}(1-v)\vec{b} + (\frac{2}{3}(1-v) + 2v)\vec{d}$

$1 = \frac{2}{3}(1-v)$および$\frac{2}{5} = \frac{2}{3}(1-v) + 2v$を満たす$v$を求める。

$\frac{3}{2} = 1-v$

$v = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

$\frac{2}{5} = \frac{2}{3}(1+\frac{1}{2}) + 2(-\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{3}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0$

これは成り立たないので、E, F, Gは一直線上にない。

点B, E, Gは一直線上にあるため、明らかにB, E, F, Gの全てが一直線上にあるわけではない。

残りの選択肢を検討する。

B, E, Fが一直線上になく、B, E, Gが一直線上にあることから、Fは一直線上にない。

B, F, Gが一直線上にない。

E, F, Gが一直線上にない。

上記より、Fは一直線上にない。

3. 最終的な答え

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