三角形ABCにおいて、重心をG、辺ABの中点をP、辺ACを3:2に内分する点をQ、辺BCを3:2に外分する点をRとするとき、G、P、Q、Rのうち、一直線上にないものはどれかを問う問題です。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、重心をG、辺ABの中点をP、辺ACを3:2に内分する点をQ、辺BCを3:2に外分する点をRとするとき、G、P、Q、Rのうち、一直線上にないものはどれかを問う問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトルを用いて各点の位置ベクトルを表します。

Aを始点として、$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$とします。

* 点Pは辺ABの中点なので、$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{b}$

* 点Qは辺ACを3:2に内分するので、$\vec{AQ} = \frac{3}{5}\vec{c}$

* 点Gは三角形ABCの重心なので、$\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$

* 点Rは辺BCを3:2に外分するので、$\vec{AR} = -2\vec{b} + 3\vec{c}$

次に、点P、Q、Gの共線性を調べます。

$\vec{PQ}$と$\vec{PG}$が平行であれば、P,Q,Gは同一直線上に存在します。

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{3}{5}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{PG} = \vec{AG} - \vec{AP} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{PQ} = k\vec{PG}$となる実数kが存在するか調べます。

$\frac{3}{5}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = k(-\frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c})$

$-\frac{1}{2} = -\frac{k}{6}$より、$k = 3$

$\frac{3}{5} = \frac{k}{3}$より、$k = \frac{9}{5}$

kの値が一致しないため、P,Q,Gは同一直線上に存在しません。

次に、点P,Q,Rの共線性を確認します。

$\vec{PQ} = \frac{3}{5}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{PR} = \vec{AR} - \vec{AP} = -2\vec{b} + 3\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{5}{2}\vec{b} + 3\vec{c}$

$\vec{PR} = k\vec{PQ}$となる実数kが存在するか調べます。

$-\frac{5}{2}\vec{b} + 3\vec{c} = k(\frac{3}{5}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b})$

$-\frac{5}{2} = -\frac{k}{2}$より、$k = 5$

$3 = \frac{3k}{5}$より、$k = 5$

kの値が一致するため、P,Q,Rは同一直線上に存在します。

点Gは直線PQ上にないため、G、P、Q、Rのうち、一直線上にないものはGです。

3. 最終的な答え

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