3点 $O(0)$, $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$ を頂点とする $\triangle OAB$ について、$\angle O = 60^\circ$, $OA = 8$, $OB = 5$ であるとき、$\triangle OAB$ の内心 $I$ の位置ベクトルを求める。

1. 問題の内容

3点 $O(0)$, $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$ を頂点とする $\triangle OAB$ について、$\angle O = 60^\circ$, $OA = 8$, $OB = 5$ であるとき、$\triangle OAB$ の内心 $I$ の位置ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、$AB$ の長さを余弦定理を用いて計算する。

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos{\angle O}$

$AB^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos{60^\circ}$

$AB^2 = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2}$

$AB^2 = 89 - 40 = 49$

よって、$AB = 7$。

次に、内心 $I$ の位置ベクトル $\vec{i}$ を求める。内心は三角形の各頂点からの角の二等分線の交点である。

内心 $I$ の位置ベクトル $\vec{i}$ は、

$\vec{i} = \frac{BC \cdot \vec{a} + CA \cdot \vec{b} + AB \cdot \vec{0}}{AB + BC + CA} = \frac{OB \cdot \vec{a} + OA \cdot \vec{b} + AB \cdot \vec{0}}{AB + OA + OB}$

$\vec{i} = \frac{5\vec{a} + 8\vec{b} + 7\vec{0}}{7 + 8 + 5}$

$\vec{i} = \frac{5\vec{a} + 8\vec{b}}{20} = \frac{5}{20}\vec{a} + \frac{8}{20}\vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

$\vec{i} = \frac{5\vec{a}+8\vec{b}}{20}$

$I$ の位置ベクトルは $\frac{5\vec{a} + 8\vec{b}}{20}$ であり、選択肢にない。

しかし、選択肢をよく見ると、

$\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{7}{20}\vec{b}$

$\frac{7}{20}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}$

$\frac{7}{20}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}$

$\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{7}{20}\vec{b}$

などがある。

上の計算が間違っている可能性があるので確認する。

$\vec{i} = \frac{|BC|\vec{a}+|AC|\vec{b}+|AB|\vec{0}}{|BC|+|AC|+|AB|} = \frac{5\vec{a}+8\vec{b}+0}{5+8+7} = \frac{5\vec{a}+8\vec{b}}{20} = \frac{1}{4}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}$

これは選択肢にない。

3. 最終的な答え

選択肢に正解がないので、「6 わからない」が答えです。

答え：6