四角形ABCDにおいて、辺AD, BCの中点をそれぞれM, Nとする。線分AB, BD, DC, MNをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, R, Sとするとき、これらの点のうち、一直線上にないものはどれか?

幾何学ベクトル内分一次独立平面幾何
2025/8/5

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、辺AD, BCの中点をそれぞれM, Nとする。線分AB, BD, DC, MNをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, R, Sとするとき、これらの点のうち、一直線上にないものはどれか?

2. 解き方の手順

この問題は、ベクトルの知識を用いて解くことができます。
まず、位置ベクトル a,b,c,d\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} をそれぞれ点A, B, C, Dの位置ベクトルとします。
次に、それぞれの点の位置ベクトルを求めます。
点Pは線分ABを2:3に内分するので、 p=3a+2b5\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5} です。
点Qは線分BDを2:3に内分するので、 q=3b+2d5\vec{q} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{d}}{5} です。
点Rは線分DCを2:3に内分するので、 r=3d+2c5\vec{r} = \frac{3\vec{d} + 2\vec{c}}{5} です。
点Mは線分ADの中点なので、 m=a+d2\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} です。
点Nは線分BCの中点なので、 n=b+c2\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} です。
点Sは線分MNを2:3に内分するので、 s=3m+2n5=3(a+d2)+2(b+c2)5=3a+3d+4b+4c10=3a+2b512+2c+3d512\vec{s} = \frac{3\vec{m} + 2\vec{n}}{5} = \frac{3(\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}) + 2(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2})}{5} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{d} + 4\vec{b} + 4\vec{c}}{10} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2\vec{c} + 3\vec{d}}{5} \cdot \frac{1}{2} です。
2s=35a+25b+25c+35d2\vec{s}=\frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} + \frac{3}{5}\vec{d}
2s=p+r2\vec{s} = \vec{p} + \vec{r}
s=p+r2\vec{s} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}
したがって、SはPRの中点にあるので、P, R, Sは一直線上にあります。
次に、Qが直線PR上にあるかどうかを検討します。
もしQが直線PR上にあれば、q=kp+(1k)r\vec{q} = k\vec{p} + (1-k)\vec{r}となる実数kが存在するはずです。
3b+2d5=k3a+2b5+(1k)3d+2c5\frac{3\vec{b} + 2\vec{d}}{5} = k \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5} + (1-k)\frac{3\vec{d} + 2\vec{c}}{5}
3b+2d=3ka+2kb+3(1k)d+2(1k)c3\vec{b} + 2\vec{d} = 3k\vec{a} + 2k\vec{b} + 3(1-k)\vec{d} + 2(1-k)\vec{c}
3b+2d=3ka+2kb+(33k)d+(22k)c3\vec{b} + 2\vec{d} = 3k\vec{a} + 2k\vec{b} + (3-3k)\vec{d} + (2-2k)\vec{c}
係数を比較して、a,b,c,d\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} が一次独立ならば、
3k=0,2k=3,22k=0,33k=23k=0, 2k=3, 2-2k=0, 3-3k=2
これは矛盾しているので、Qは直線PR上にありません。したがってP,Q,R,Sは一直線上にありません。

3. 最終的な答え

5

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