この問題は、ベクトルの知識を用いて解くことができます。
まず、位置ベクトル a,b,c,d をそれぞれ点A, B, C, Dの位置ベクトルとします。 次に、それぞれの点の位置ベクトルを求めます。
点Pは線分ABを2:3に内分するので、 p=53a+2b です。 点Qは線分BDを2:3に内分するので、 q=53b+2d です。 点Rは線分DCを2:3に内分するので、 r=53d+2c です。 点Mは線分ADの中点なので、 m=2a+d です。 点Nは線分BCの中点なので、 n=2b+c です。 点Sは線分MNを2:3に内分するので、 s=53m+2n=53(2a+d)+2(2b+c)=103a+3d+4b+4c=53a+2b⋅21+52c+3d⋅21です。 2s=53a+52b+52c+53d 2s=p+r s=2p+r したがって、SはPRの中点にあるので、P, R, Sは一直線上にあります。
次に、Qが直線PR上にあるかどうかを検討します。
もしQが直線PR上にあれば、q=kp+(1−k)rとなる実数kが存在するはずです。 53b+2d=k53a+2b+(1−k)53d+2c 3b+2d=3ka+2kb+3(1−k)d+2(1−k)c 3b+2d=3ka+2kb+(3−3k)d+(2−2k)c 係数を比較して、a,b,c,d が一次独立ならば、 3k=0,2k=3,2−2k=0,3−3k=2 これは矛盾しているので、Qは直線PR上にありません。したがってP,Q,R,Sは一直線上にありません。