三角形ABCの重心をG、辺ACの中点をD、線分BDの中点をP、辺BCを1:2に内分する点をQとするとき、A, G, P, Qのうち、一直線上にないものはどれか。

1. 問題の内容

三角形ABCの重心をG、辺ACの中点をD、線分BDの中点をP、辺BCを1:2に内分する点をQとするとき、A, G, P, Qのうち、一直線上にないものはどれか。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて考える。

$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$とする。

重心Gは

$\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

辺ACの中点Dは

$\vec{d} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$

線分BDの中点Pは

$\vec{p} = \frac{\vec{b}+\vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}}{2} = \frac{\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{4}$

辺BCを1:2に内分する点Qは

$\vec{q} = \frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$

A, G, Pが一直線上にあるか調べる。

$\vec{AG} = \vec{g}-\vec{a} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} - \vec{a} = \frac{-2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

$\vec{AP} = \vec{p}-\vec{a} = \frac{\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{4} - \vec{a} = \frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{4}$

$\vec{AP} = k\vec{AG}$となるkが存在するか考える。

$\frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{4} = k\frac{-2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

係数を比較して

$-3/4 = -2k/3$, $2/4 = k/3$, $1/4 = k/3$

$k = 9/8$, $k = 3/2$, $k = 3/4$

kが存在しないので、A, G, Pは一直線上にない。

A, G, Qが一直線上にあるか調べる。

$\vec{AG} = \frac{-2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

$\vec{AQ} = \vec{q}-\vec{a} = \frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}-\vec{a} = \frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{3}$

$\vec{AQ} = k\vec{AG}$となるkが存在するか考える。

$\frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{3} = k\frac{-2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

$-3 = -2k$, $2 = k$, $1 = k$

$k=3/2$, $k=2$, $k=1$

kが存在しないので、A, G, Qは一直線上にない。

G, P, Qが一直線上にあるか調べる。

$\vec{GP} = \vec{p}-\vec{g} = \frac{\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{4} - \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{3\vec{a}+6\vec{b}+3\vec{c} - 4\vec{a}-4\vec{b}-4\vec{c}}{12} = \frac{-\vec{a}+2\vec{b}-\vec{c}}{12}$

$\vec{GQ} = \vec{q}-\vec{g} = \frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3} - \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{-\vec{a}+\vec{b}}{3}$

$\vec{GP} = k\vec{GQ}$となるkが存在するか考える。

$\frac{-\vec{a}+2\vec{b}-\vec{c}}{12} = k\frac{-\vec{a}+\vec{b}}{3}$

$-\frac{1}{12} = -\frac{k}{3}$, $\frac{2}{12} = \frac{k}{3}$, $-\frac{1}{12} = 0$

$k=\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$, $k=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

kが存在しないので、G, P, Qは一直線上にない。

A, P, Qが一直線上にあるか調べる。

$\vec{AP} = \frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{4}$

$\vec{AQ} = \frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{3}$

$\vec{AP} = k\vec{AQ}$となるkが存在するか考える。

$\frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{4} = k\frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{3}$

$1/4 = k/3$

$k=3/4$

A, P, Qは一直線上にある。

したがって、A, G, P, Qのうち、一直線上にないものはGである。

3. 最終的な答え

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