一辺の長さが $a$ の正四面体 ABCD において、辺 BC の中点を M とし、頂点 A から DM に下ろした垂線を AH とする。∠AMD = $\theta$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\cos{\theta}$ の値を求めよ。 (2) AH の長さを $a$ で表せ。 (3) 正四面体 ABCD の体積を求めよ。 (4) 正四面体の内接球の半径を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正四面体 ABCD において、辺 BC の中点を M とし、頂点 A から DM に下ろした垂線を AH とする。∠AMD = $\theta$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\cos{\theta}$ の値を求めよ。

(2) AH の長さを $a$ で表せ。

(3) 正四面体 ABCD の体積を求めよ。

(4) 正四面体の内接球の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABM$ で三平方の定理より、

$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

同様に、$DM = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

$\triangle AMD$ において余弦定理より、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos{\theta}$

$a^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \cos{\theta}$

$a^2 = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{4}a^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}a^2 \cdot \cos{\theta}$

$a^2 = \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a^2 \cos{\theta}$

$-\frac{1}{2}a^2 = -\frac{3}{2}a^2 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{3}$

(2) $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、

$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\triangle AHM$ において、

$AH = AM \sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{6}a = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(3) $DM = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ であり、$AH = \frac{\sqrt{6}}{3}a$ なので、$\triangle AMD$ の面積は、

$\frac{1}{2} \cdot DM \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{18}}{12} a^2 = \frac{3\sqrt{2}}{12}a^2 = \frac{\sqrt{2}}{4}a^2$

正四面体の体積は、底面積 $a^2$ 高さ $\frac{\sqrt{2}}{4}a$と$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$の正三角形を底面とした時の高さ$\frac{\sqrt{6}}{3}a$を利用して求める。

$V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4}a^2) \cdot (\frac{\sqrt{6}}{3}a) = \frac{\sqrt{18}}{36}a^3 = \frac{3\sqrt{2}}{36}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

(4) 正四面体の内接球の半径を $r$ とすると、正四面体の体積は、4つの三角錐 OABC, OBCD, OACD, OABD の体積の和に等しい。それぞれの三角錐の底面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ で、高さは $r$ であるから、各三角錐の体積は $\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot r = \frac{\sqrt{3}}{12}a^2r$ である。

したがって、

$4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}a^2r = \frac{\sqrt{3}}{3}a^2r = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

$r = \frac{\frac{\sqrt{2}}{12}a^3}{\frac{\sqrt{3}}{3}a^2} = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} a = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} a = \frac{\sqrt{6}}{12}a$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\theta} = \frac{1}{3}$

(2) $AH = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(3) $V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

(4) $r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$