三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = (1+\sqrt{3}):2:\sqrt{2}$ が成り立つとき、角Cの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = (1+\sqrt{3}):2:\sqrt{2}$ が成り立つとき、角Cの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つので、$a:b:c = (1+\sqrt{3}):2:\sqrt{2}$ となります。

したがって、$a = (1+\sqrt{3})k$, $b = 2k$, $c = \sqrt{2}k$ (kは正の定数)とおけます。

余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\cos C = \frac{((1+\sqrt{3})k)^2 + (2k)^2 - (\sqrt{2}k)^2}{2(1+\sqrt{3})k(2k)}$

$\cos C = \frac{(1+2\sqrt{3}+3)k^2 + 4k^2 - 2k^2}{4(1+\sqrt{3})k^2}$

$\cos C = \frac{(4+2\sqrt{3})k^2 + 2k^2}{4(1+\sqrt{3})k^2}$

$\cos C = \frac{(6+2\sqrt{3})k^2}{4(1+\sqrt{3})k^2}$

$\cos C = \frac{2(3+\sqrt{3})}{4(1+\sqrt{3})}$

$\cos C = \frac{3+\sqrt{3}}{2(1+\sqrt{3})}$

$\cos C = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2(1+\sqrt{3})}$

$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$C$は三角形の内角なので、$0 < C < \pi$ です。

$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる$C$は、$C = \frac{\pi}{6}$ です。

3. 最終的な答え

$C = \frac{\pi}{6}$ (または 30°)