問題は、三角形 ABC に関するいくつかの小問と、円に内接する四角形 ABCD に関する小問で構成されています。 (1) 三角形 ABC において、$a = \sqrt{2}$、$b = 5$、$C = 135^\circ$ のとき、$c$ を求めます。 (2) 三角形 ABC において、$a = 2$、$c = 2\sqrt{2}$、$C = 135^\circ$ のとき、$A$ を求めます。 (3) 三角形 ABC において、$b = 2\sqrt{3}$、$c = 2$、$C = 30^\circ$ のとき、$a$ と $B$ を求めます。 (4) 三角形 ABC において、$a = 8$、$b = 6$、$c = 4$ のとき、三角形の面積と内接円の半径を求めます。 (5) 円に内接する四角形 ABCD において、$AB = 2$、$BC = 4$、$CD = 3$、$DA = 2$ のとき、対角線 AC の長さを求めます。

1. 問題の内容

問題は、三角形 ABC に関するいくつかの小問と、円に内接する四角形 ABCD に関する小問で構成されています。

(1) 三角形 ABC において、$a = \sqrt{2}$、$b = 5$、$C = 135^\circ$ のとき、$c$ を求めます。

(2) 三角形 ABC において、$a = 2$、$c = 2\sqrt{2}$、$C = 135^\circ$ のとき、$A$ を求めます。

(3) 三角形 ABC において、$b = 2\sqrt{3}$、$c = 2$、$C = 30^\circ$ のとき、$a$ と $B$ を求めます。

(4) 三角形 ABC において、$a = 8$、$b = 6$、$c = 4$ のとき、三角形の面積と内接円の半径を求めます。

(5) 円に内接する四角形 ABCD において、$AB = 2$、$BC = 4$、$CD = 3$、$DA = 2$ のとき、対角線 AC の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を使います。$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ に、$a = \sqrt{2}$、$b = 5$、$C = 135^\circ$ を代入します。

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$c^2 = (\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 + 25 + 10 = 37$

$c = \sqrt{37}$

(2) 正弦定理を使います。$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ に、$a = 2$、$c = 2\sqrt{2}$、$C = 135^\circ$ を代入します。

$\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\frac{2}{\sin A} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4$

$\sin A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$A = 30^\circ$ または $150^\circ$ が考えられますが、$A + C < 180^\circ$ である必要があるので、$A = 30^\circ$ です。

(3) 正弦定理を使います。$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$ に、$b = 2\sqrt{3}$、$c = 2$、$C = 30^\circ$ を代入します。

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin B}$

$4 = \frac{2\sqrt{3}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$B = 60^\circ$ または $120^\circ$ が考えられます。

$B = 60^\circ$ のとき、$A = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

正弦定理より $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ なので

$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{2 \cdot 1}{\frac{1}{2}} = 4$

$B = 120^\circ$ のとき、$A = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$

このとき $a=c=2$ となるので、条件に合う。

したがって、$a=4$、$B = 60^\circ$ または $a = 2$、$B = 120^\circ$

(4) ヘロンの公式を使って三角形の面積を求めます。$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+6+4}{2} = 9$

面積 $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9(9-8)(9-6)(9-4)} = \sqrt{9 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$

内接円の半径 $r$ は、$S = rs$ より、$3\sqrt{15} = 9r$ なので、$r = \frac{\sqrt{15}}{3}$

(5) 余弦定理を使って対角線 AC の長さを求めます。

$\angle B = \theta$ とおくと、$\angle D = 180^\circ - \theta$

$\triangle ABC$ において、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos \theta = 4 + 16 - 16 \cos \theta = 20 - 16 \cos \theta$

$\triangle ADC$ において、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^\circ - \theta) = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (-\cos \theta) = 4 + 9 + 12 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$

したがって、$20 - 16 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$

$28 \cos \theta = 7$

$\cos \theta = \frac{1}{4}$

$AC^2 = 20 - 16 \cdot \frac{1}{4} = 20 - 4 = 16$

$AC = 4$

3. 最終的な答え

(1) $c = \sqrt{37}$

(2) $A = 30^\circ$

(3) $a = 4$, $B = 60^\circ$ または $a=2$, $B = 120^\circ$

(4) 面積: $3\sqrt{15}$、内接円の半径: $\frac{\sqrt{15}}{3}$

(5) 対角線 AC の長さ: $4$