三角形ABCの3辺の長さがAB=5, BC=12, CA=13であるとき、 (1) 三角形ABCの外接円の半径を求める。 (2) 三角形ABCの内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの3辺の長さがAB=5, BC=12, CA=13であるとき、

(1) 三角形ABCの外接円の半径を求める。

(2) 三角形ABCの内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 外接円の半径を求める。

まず、三角形ABCが直角三角形であるかどうかを確認します。

$AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$CA^2 = 13^2 = 169$

$AB^2 + BC^2 = CA^2$なので、三角形ABCは角Bが直角の直角三角形です。

直角三角形の外接円の半径は、斜辺の長さの半分に等しくなります。

したがって、外接円の半径Rは、

$R = \frac{CA}{2} = \frac{13}{2}$

(2) 内接円の半径を求める。

直角三角形ABCの内接円の半径をrとすると、

$r = \frac{AB + BC - CA}{2}$

$r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) 外接円の半径は $\frac{13}{2}$

(2) 内接円の半径は 2