## 回答

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1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$において、$AB = 2(\sqrt{3} + 1)$, $AC = 4$, $A = 60^{\circ}$のとき、$BC$と$B$を求める。

(2) $\triangle ABC$において、$a:b:c = 3:7:5$のとき、$\sin A : \sin B : \sin C$と$\triangle ABC$の最も大きい角を求める。

(3) $\triangle ABC$において、$b - c = 2$, $\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$であり、$\triangle ABC$の面積は$\frac{1}{3}$である。このとき、$c$を求める。

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2. 解き方の手順

(1)

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC) \cos A$。

$BC^2 = (2(\sqrt{3}+1))^2 + 4^2 - 2(2(\sqrt{3}+1))(4) \cos 60^{\circ}$

$= 4(3 + 2\sqrt{3} + 1) + 16 - 16(\sqrt{3} + 1)(\frac{1}{2})$

$= 16 + 8\sqrt{3} + 16 - 8\sqrt{3} - 8$

$= 24$

$BC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$。

$\sin B = \frac{AC \sin A}{BC} = \frac{4 \sin 60^{\circ}}{2\sqrt{6}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 45^{\circ}$ または $B = 135^{\circ}$

$A + B + C = 180^{\circ}$なので、$60^{\circ} + B < 180^{\circ}$。$B<120^{\circ}$。

したがって、$B = 45^{\circ}$。

(2)

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$。

したがって、$\sin A : \sin B : \sin C = 3:7:5$。

$a = 3k, b = 7k, c = 5k$ (kは定数)とおける。

最大の角は$b$の対角なので$B$。

余弦定理より、$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2(3k)(5k)} = \frac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

$\cos B = -\frac{1}{2}$より、$B = 120^{\circ}$。

(3)

$b - c = 2$より、$b = c+2$。

$\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、$\sin^2 A = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$。$\sin A = \frac{2}{3}$。

面積$S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{3}$。

$\frac{1}{2}(c+2)c(\frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$

$(c+2)c = 1$

$c^2 + 2c - 1 = 0$

$c = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$c > 0$より、$c = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$

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3. 最終的な答え

(1) $BC = 2\sqrt{6}$, $B = 45^{\circ}$

(2) $\sin A : \sin B : \sin C = 3:7:5$, $120^{\circ}$

(3) $c = \sqrt{2} - 1$