半径5の円Oの外に点Pがあり、$OP = 7$ である。点Pを通る直線が円Oと点A, Bで交わる。また、点Pから円Oに引いた接線の接点をTとする。このとき、$PA \cdot PB$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径5の円Oの外に点Pがあり、$OP = 7$ である。点Pを通る直線が円Oと点A, Bで交わる。また、点Pから円Oに引いた接線の接点をTとする。このとき、$PA \cdot PB$ の値を求める。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用する。

点Pから円Oに引いた接線の接点をTとすると、方べきの定理より

$PA \cdot PB = PT^2$

が成り立つ。

次に、$PT$ の長さを求める。

$\triangle PTO$ は直角三角形であり、$OT$ は円の半径なので、$OT = 5$ である。

また、$OP = 7$ であるから、三平方の定理より

$PT^2 + OT^2 = OP^2$

$PT^2 + 5^2 = 7^2$

$PT^2 + 25 = 49$

$PT^2 = 49 - 25$

$PT^2 = 24$

したがって、$PA \cdot PB = PT^2 = 24$

3. 最終的な答え

$PA \cdot PB = 24$