右図において、直線ABは2つの円O, O'の共通接線である。円Oの半径は7、円O'の半径は3であるとき、線分ABの長さを求める問題。

1. 問題の内容

右図において、直線ABは2つの円O, O'の共通接線である。円Oの半径は7、円O'の半径は3であるとき、線分ABの長さを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、点O'から線分OAに垂線を下ろし、交点をCとする。

すると、四角形O'BACは長方形になる。

したがって、AC = OA - OC = 7 - 3 = 4

また、O'C = AB となる。

次に、三角形OO'Cは直角三角形である。

ピタゴラスの定理より、

$OO'^2 = O'C^2 + OC^2$

$OO' = 7 + 3 = 10$ (円Oと円O'の中心間の距離は半径の和に等しい)

よって、

$10^2 = O'C^2 + 4^2$

$100 = O'C^2 + 16$

$O'C^2 = 100 - 16 = 84$

$O'C = \sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21}$

したがって、$AB = O'C = 2\sqrt{21}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{21}$