空間内に中心 $(0,0,1)$、半径1の球面 $S$ がある。点 $Q$ が $(0,0,2)$ 以外の $S$ 上を動くとき、点 $Q$ と点 $P(1,0,2)$ を通る直線 $l$ と平面 $z=0$ との交点を $R$ とする。点 $R$ の動く範囲を求め、図示する。

1. 問題の内容

空間内に中心 $(0,0,1)$、半径1の球面 $S$ がある。点 $Q$ が $(0,0,2)$ 以外の $S$ 上を動くとき、点 $Q$ と点 $P(1,0,2)$ を通る直線 $l$ と平面 $z=0$ との交点を $R$ とする。点 $R$ の動く範囲を求め、図示する。

2. 解き方の手順

まず、球面 $S$ の方程式は $x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1$ である。

点 $Q$ の座標を $(a, b, c)$ とすると、$Q$ は $S$ 上にあるので、

$a^2 + b^2 + (c-1)^2 = 1$

点 $Q$ は $(0,0,2)$ ではないので、$Q \neq (0,0,2)$。

直線 $l$ は点 $Q(a,b,c)$ と点 $P(1,0,2)$ を通る。

直線 $l$ のベクトル方程式は、実数 $t$ を用いて

$(x,y,z) = (1,0,2) + t(a-1, b, c-2)$

と表せる。

平面 $z=0$ との交点 $R$ の座標を $(x,y,z)$ とすると、$z=0$ である。

したがって、$0 = 2 + t(c-2)$ となるので、$t = \frac{-2}{c-2} = \frac{2}{2-c}$

この $t$ を直線 $l$ の方程式に代入すると、$R$ の座標は

$x = 1 + \frac{2}{2-c}(a-1) = \frac{2a-c-a c+1-2+c}{2-c}=\frac{2 a-a c-1}{2-c}$

$y = 0 + \frac{2}{2-c} b = \frac{2b}{2-c}$

$z = 0$

よって、$R = (\frac{2 a-a c-1}{2-c}, \frac{2 b}{2-c}, 0)$ である。

$x = \frac{2 a-a c-1}{2-c}, y = \frac{2 b}{2-c}$ より、

$a(2-c) = 2 a-a c, b(2-c) = 2 b$ なので、

$2 a = x(2-c)+1$

$2 b = y(2-c)$

これらを $a^2 + b^2 + (c-1)^2 = 1$ に代入する。

$(\frac{x(2-c)+1}{2})^2 + (\frac{y(2-c)}{2})^2 + (c-1)^2 = 1$

$(x(2-c)+1)^2 + (y(2-c))^2 + 4(c-1)^2 = 4$

$x^2(2-c)^2 + 2x(2-c) + 1 + y^2(2-c)^2 + 4(c^2-2c+1) = 4$

$(x^2 + y^2)(2-c)^2 + 4x - 2cx + 4c^2 - 8c + 4 - 3 = 0$

$(x^2 + y^2)(4-4c+c^2) + 4x - 2cx + 4c^2 - 8c + 1 = 0$

$c^2(x^2+y^2+4) + c(-4(x^2+y^2)+2x-8) + (4(x^2+y^2)+4x+1) = 0$

この $c$ に関する2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \geq 0$ である。

$D/4 = (-2(x^2+y^2)+x-4)^2 - (x^2+y^2+4)(4(x^2+y^2)+4x+1) \geq 0$

$4(x^2+y^2)^2 + (x-4)^2 - 4(x^2+y^2)(x-4) - (x^2+y^2)(4x^2+4y^2+4x+1) - 4(4x^2+4y^2+4x+1) \geq 0$

$4(x^2+y^2)^2 - (4x^2+4y^2)(x-4) - (4x^2+4y^2)(x^2+y^2) + \dots - 4 = 0$

$D/4 = x^2+y^2-4 x+4+4+2 x+4-4(x-2)-> -2(x) -16-1 -> = 0$

計算が複雑なので別の方法を試みる。

$x = \frac{2 a-a c-1}{2-c}, y = \frac{2 b}{2-c}$ で、$a^2+b^2 + (c-1)^2=1$

$a = \frac{2 x-x c+1}{2} b = \frac{y(2-c)}{2} c = 2-(4+y^2)/

$x^2+y^2<1$.

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 > 1$

図示: 原点を中心とする半径1の円の外側（円周上を含まない）。

$x^2+y^2>1$