放物線 $y=x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ が、2点 $A(-1, 1)$, $B(4, 16)$ の間にあるとき、三角形 $APB$ の面積の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ が、2点 $A(-1, 1)$, $B(4, 16)$ の間にあるとき、三角形 $APB$ の面積の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 直線 $AB$ の方程式を求める。

点 $A(-1, 1)$ と点 $B(4, 16)$ を通る直線の傾きは

$\frac{16 - 1}{4 - (-1)} = \frac{15}{5} = 3$

よって、直線 $AB$ の方程式は

$y - 1 = 3(x - (-1))$

$y = 3x + 3 + 1$

$y = 3x + 4$

ステップ2: 点 $P(t, t^2)$ と直線 $AB$ の距離 $d$ を求める。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|3t - t^2 + 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|-t^2 + 3t + 4|}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{|-(t^2 - 3t - 4)|}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{|-(t - 4)(t + 1)|}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{|(t - 4)(t + 1)|}{\sqrt{10}}$

ステップ3: 線分 $AB$ の長さを求める。

$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (16 - 1)^2}$

$AB = \sqrt{5^2 + 15^2}$

$AB = \sqrt{25 + 225}$

$AB = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$

ステップ4: 三角形 $APB$ の面積 $S$ を求める。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times d$

$S = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{10} \times \frac{|(t - 4)(t + 1)|}{\sqrt{10}}$

$S = \frac{5}{2} |(t - 4)(t + 1)|$

$S = \frac{5}{2} |-t^2 + 3t + 4|$

$S = \frac{5}{2} |-(t^2 - 3t - 4)|$

ステップ5: $S$ が最大となる $t$ の値を求める。

$f(t) = -t^2 + 3t + 4$ とおくと、これは上に凸の放物線である。

$t^2 - 3t - 4 = 0$ を解くと $t = -1, 4$ であり、 $-1 < t < 4$ の範囲で考える。

$f(t) = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 4 = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$

$t = \frac{3}{2}$ のとき $f(t)$ は最大値 $\frac{25}{4}$ をとる。

ステップ6: 面積 $S$ の最大値を求める。

$S = \frac{5}{2} \times \frac{25}{4} = \frac{125}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{125}{8}$