三角形ABCにおいて、3辺の長さが $x$, $x+2$, $x+4$ である。 (1) 三角形ABCが鈍角三角形となるための $x$ の値の範囲を求める。 (2) 三角形ABCの最大角が120°となるような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、3辺の長さが $x$, $x+2$, $x+4$ である。

(1) 三角形ABCが鈍角三角形となるための $x$ の値の範囲を求める。

(2) 三角形ABCの最大角が120°となるような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形の成立条件から、$x > 0$ であり、

$x + (x+2) > x+4$

$2x + 2 > x + 4$

$x > 2$

また、$x < (x+2) + (x+4)$

$x < 2x + 6$

$-6 < x$

これも $x>2$ より成り立つ。

次に、鈍角三角形となる条件を考える。最も長い辺は $x+4$ であるので、

$(x+4)^2 > x^2 + (x+2)^2$

$x^2 + 8x + 16 > x^2 + x^2 + 4x + 4$

$0 > x^2 - 4x - 12$

$0 > (x-6)(x+2)$

$-2 < x < 6$

$x > 2$ と $-2 < x < 6$ より、 $2 < x < 6$

(2)

最大角が120°となるのは、$(x+4)$ の対角である。余弦定理より

$(x+4)^2 = x^2 + (x+2)^2 - 2x(x+2)\cos{120^\circ}$

$(x+4)^2 = x^2 + (x+2)^2 - 2x(x+2)(-\frac{1}{2})$

$x^2 + 8x + 16 = x^2 + x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x$

$x^2 + 8x + 16 = 2x^2 + 6x + 4$

$0 = x^2 - 2x - 12$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4+48}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 1 \pm \sqrt{13}$

$x > 2$ より、 $x = 1 + \sqrt{13}$

$\sqrt{13} \approx 3.6$ より $x = 1+3.6 \approx 4.6 > 2$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $2 < x < 6$

(2) $x = 1 + \sqrt{13}$