$xyz$空間において、点$(0, 0, 1)$を中心とする半径$1$の球面$S$を考える。点$Q$が$(0, 0, 2)$以外の$S$上の点を動くとき、点$Q$と点$P(1, 0, 2)$の2点を通る直線$l$と平面$z=0$との交点を$R$とおく。点$R$の動く範囲を求め、図示せよ。

1. 問題の内容

$xyz$空間において、点$(0, 0, 1)$を中心とする半径$1$の球面$S$を考える。点$Q$が$(0, 0, 2)$以外の$S$上の点を動くとき、点$Q$と点$P(1, 0, 2)$の2点を通る直線$l$と平面$z=0$との交点を$R$とおく。点$R$の動く範囲を求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

点$Q$の座標を$(X, Y, Z)$とする。点$Q$は球面$S$上の点なので、

$$X^2 + Y^2 + (Z-1)^2 = 1$$

$X^2+Y^2+Z^2-2Z = 0$

点$Q$は$(0, 0, 2)$ではないので、$X, Y, Z$は

$$(X, Y, Z) \neq (0, 0, 2)$$

を満たす。

点$P(1, 0, 2)$と点$Q(X, Y, Z)$を通る直線$l$の方程式は、

$$\frac{x-1}{X-1} = \frac{y-0}{Y-0} = \frac{z-2}{Z-2}$$

点$R$は直線$l$と平面$z=0$の交点なので、$z=0$を代入すると、

$$\frac{x-1}{X-1} = \frac{y}{Y} = \frac{0-2}{Z-2}$$

よって、

$$\frac{x-1}{X-1} = \frac{-2}{Z-2} \implies x-1 = \frac{-2(X-1)}{Z-2} \implies x = 1 - \frac{2(X-1)}{Z-2}$$

$$\frac{y}{Y} = \frac{-2}{Z-2} \implies y = \frac{-2Y}{Z-2}$$

点$R$の座標を$(x, y, 0)$とすると、

$$X = 1 - \frac{(Z-2)(x-1)}{2}$$

$$Y = \frac{-y(Z-2)}{2}$$

$X^2 + Y^2 + Z^2 - 2Z = 0$に代入すると、

$$\left(1 - \frac{(Z-2)(x-1)}{2}\right)^2 + \left(\frac{-y(Z-2)}{2}\right)^2 + Z^2 - 2Z = 0$$

$$(2 - (Z-2)(x-1))^2 + y^2(Z-2)^2 + 4(Z^2 - 2Z) = 0$$

$$(2 - (Zx - x - 2x + 2))^2 + y^2(Z^2-4Z+4) + 4Z^2 - 8Z = 0$$

$$(4 - Zx + 3x - 2)^2 + y^2(Z^2 - 4Z + 4) + 4Z^2 - 8Z = 0$$

$$(2 - Zx + 3x)^2 + y^2(Z^2 - 4Z + 4) + 4Z^2 - 8Z = 0$$

$$(Zx - 3x - 2)^2 = Z^2x^2 - 6Zx^2 - 4Zx + 9x^2 + 12x + 4$$

$$(Z^2x^2 - 6Zx^2 - 4Zx + 9x^2 + 12x + 4) + y^2(Z^2 - 4Z + 4) + 4Z^2 - 8Z = 0$$

$$(x^2+y^2+4)Z^2 - (6x^2+4x+4y^2+8)Z + 9x^2+12x+4y^2+4 = 0$$

$Z$に関する2次方程式になる。

この式が$0 \le Z \le 2$の範囲で解を持つ条件を考える。

点$Q \neq (0, 0, 2)$なので、$Z \neq 2$となる。

$Z=2$の時、

$(x^2+y^2+4)4 - (6x^2+4x+4y^2+8)2 + 9x^2+12x+4y^2+4 = 0$

$4x^2+4y^2+16 - 12x^2-8x-8y^2-16 + 9x^2+12x+4y^2+4 = 0$

$x^2+4x+4 = 0$

$(x+2)^2=0$

$x=-2$

$y=0$

よって点$R(-2, 0, 0)$は除かれる。

$Z=0$の時、

$(x^2+y^2+4)0 - (6x^2+4x+4y^2+8)0 + 9x^2+12x+4y^2+4 = 0$

$9x^2+12x+4y^2+4=0$

$9(x^2 + \frac{4}{3}x)+4y^2+4=0$

$9(x^2 + \frac{4}{3}x+\frac{4}{9}) - 4 + 4y^2 + 4=0$

$9(x+\frac{2}{3})^2+4y^2 = 0$

$x = -\frac{2}{3}$, $y=0$

この時、$X=1 - \frac{(0-2)(-\frac{2}{3}-1)}{2} = 1 - \frac{-2(-\frac{5}{3})}{2} = 1-\frac{5}{3} = -\frac{2}{3}$

$Y = \frac{-0(0-2)}{2}=0$

$(-\frac{2}{3})^2+0+(0-1)^2 = \frac{4}{9}+1 \neq 1$

$(x,y) \neq (-\frac{2}{3},0)$

$x = -2$の時

$(4+y^2+4)Z^2 - (24-8+4y^2+8)Z + 36-24+4y^2+4=0$

$(y^2+8)Z^2 - (4y^2+24)Z + 4y^2+16=0$

$(y^2+8)(Z^2 - \frac{4y^2+24}{y^2+8}Z + 4) = 0$

$Z^2 - \frac{4(y^2+6)}{y^2+8}Z + 4 = 0$

最終的な答え

$9x^2+12x+4y^2+4 > 0$かつ$(x,y) \neq (-2, 0)$

$9(x+\frac{2}{3})^2 + 4y^2 > 0$かつ$(x,y) \neq (-2, 0)$

これは点$(-\frac{2}{3}, 0)$を除くすべての点。

3. 最終的な答え

平面$z=0$上の点 $(x, y)$ で、$9x^2 + 12x + 4y^2 + 4 > 0$ を満たす範囲。

これは、平面全体から点$(-\frac{2}{3}, 0)$を除いた領域である。ただし、点$(-2, 0)$は含まれない。