2つの円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ について以下の問いに答えます。 (1) 2つの円が異なる2点で交わることを示します。 (2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。 (3) 2つの円の交点と点 $(2, 3)$ を通る円の中心と半径を求めます。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ について以下の問いに答えます。

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示します。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。

(3) 2つの円の交点と点 $(2, 3)$ を通る円の中心と半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ の中心を $O_1$、半径を $r_1$ とすると、 $O_1(0, 0)$, $r_1 = \sqrt{10}$ です。

円 $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ を変形すると $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ となります。

この円の中心を $O_2$、半径を $r_2$ とすると、$O_2(1, 2)$, $r_2 = \sqrt{5}$ です。

$O_1$ と $O_2$ の距離 $d$ は $d = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ です。

$r_1 - r_2 = \sqrt{10} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)$ であり、$r_1 + r_2 = \sqrt{10} + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)$ です。

$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ が成り立つかどうかを確認します。

$\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1) < \sqrt{5} < \sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)$

$\sqrt{2} - 1 < 1 < \sqrt{2} + 1$

これは成り立ちます。したがって、2つの円は異なる2点で交わります。

(2)

2つの円の交点を通る直線の方程式は、2つの円の方程式の差をとることで得られます。

$(x^2 + y^2 - 2x - 4y) - (x^2 + y^2 - 10) = 0$

$-2x - 4y + 10 = 0$

$2x + 4y - 10 = 0$

$x + 2y - 5 = 0$

(3)

2つの円の交点を通る円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 10 + k(x + 2y - 5) = 0$ と表せます。

これが点 $(2, 3)$ を通るので、

$2^2 + 3^2 - 10 + k(2 + 2(3) - 5) = 0$

$4 + 9 - 10 + k(2 + 6 - 5) = 0$

$3 + 3k = 0$

$k = -1$

よって、求める円の方程式は

$x^2 + y^2 - 10 - (x + 2y - 5) = 0$

$x^2 + y^2 - x - 2y - 5 = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = 5 + \frac{1}{4} + 1 = \frac{25}{4}$

中心 $(\frac{1}{2}, 1)$、半径 $\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2つの円は異なる2点で交わる。

(2) $x + 2y - 5 = 0$

(3) 中心 $(\frac{1}{2}, 1)$、半径 $\frac{5}{2}$