半径 $r$ の円柱を、底面の直径ABを通り、底面と$\frac{\pi}{3}$の角をなす平面で切ったとき、底面と平面の間の部分の体積 $V$ を求める問題です。ただし、円柱の高さは $r$ よりも十分に大きいとします。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円柱を、底面の直径ABを通り、底面と$\frac{\pi}{3}$の角をなす平面で切ったとき、底面と平面の間の部分の体積 $V$ を求める問題です。ただし、円柱の高さは $r$ よりも十分に大きいとします。

2. 解き方の手順

円柱の底面をxy平面におき、直径ABをx軸上にとります。このとき、円柱の底面の円の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$ となります。

平面は底面と $\frac{\pi}{3}$ の角をなすので、平面上の点 $(x, y)$ におけるz座標は $z = \tan(\frac{\pi}{3}) \cdot y = \sqrt{3}y$ となります。

したがって、求める体積 $V$ は、底面の半円上でz座標を積分することで求められます。

半円を $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ と表すと、$x$ の範囲は $-r$ から $r$ となります。

体積 $V$ は次の積分で与えられます。

$V = \int_{-r}^{r} \sqrt{3} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx$

$V = \sqrt{3} \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx$

ここで、$\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx$ は半径 $r$ の半円の面積を表すので、$\frac{1}{2}\pi r^2$ となります。

$V = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \pi r^2$

$V = \frac{\sqrt{3}}{2} \pi r^2$

3. 最終的な答え

$V = \frac{\sqrt{3}}{2}\pi r^2$